Das gegebene System besteht aus einem Stab der Länge und konstanter Dehnsteifigkeit
, der im mittleren Drittel durch die konstante Streckenlast
belastet ist. Am linken Rand ist der Stab fest eingespannt und am rechten Rand wird die Verschiebungsrandbedingung
aufgebracht.
Aufgaben:
- Diskretisieren Sie das System mit drei finiten Stabelementen. Stellen Sie die Element-Steifigkeitsmatrizen und die Elementlastvektoren unter Verwendung linearer Ansatzfunktionen auf.
- Führen Sie unter Verwendung Ihrer Ergebnisse aus Aufgabenteil a) die Ensemblierung des Systems durch: Stellen Sie für das zu lösende Gleichungssystem die Systemsteifigkeitsmatrix, den Systemlastvektor und den Systemverschiebungsvektor auf.
- Was verstehen Sie allgemein unter statischer Kondensation? Führen Sie die statische Kondensation für das System durch und bestimmen Sie die Lösung der entstehenden Gleichungen.
- Sie verwenden zur Approximation den Polynomgrad
. Wie viele Gauß-Punkte würden Sie zur exakten Integration eines Lastvektors bei einer quadratischen Streckenlast bzw. im Falle eines transienten Problems bei der Massenmatrix benötigen? Begründen Sie Ihr Ergebnis kurz.
Gegeben: ,
,
,
Lösung 2
a) Diskretisierung, Element-Steifigkeitsmatrizen und Elementlastvektoren
Diskretisierung mit drei finiten Stabelementen:
Zur Herleitung der schwachen Form nutzen wir ein differentielles Element des Stabes:
Kräftegleichgewicht:
mit dem Konstitutivgesetz
Differentialgleichung (Kinetik):
Kinematik:
Testfunktion:
Neumann-Randbedingung:
Mit der Green’schen Formel
folgt:
Durch Einsetzen ergibt sich:
Wir setzen nun die Neumann-Randbedingung ein:
Jetzt wollen wir die hergeleitete schwache Form approximieren:
Jetzt approximieren wir die das Verschiebungsfeld, die Verzerrungen, sowie deren Variationen:
Mit der inneren virtuellen Arbeit bestimmen wir die Elementsteifigkeitsmatrix:
Wir verwenden nun wieder die linearen Ansatzfunktionen, die bereits aus Übung 1 bekannt sind:
Für die Elementsteifigkeitsmatrix ergibt sich damit:
Da alle Elemente die gleiche Geometrie und Dehnsteifigkeit haben, sind die Elementsteifigkeitsmatrizen ebenfalls gleich.
Wir stellen nun den Elementlastvektor auf:
Für unsere konkreten Elemente gilt also:
b) Ensemblierung und Aufstellen des Gleichungssystems
Systemsteifigkeitsmatrix:
Das zu lösende Gleichungssystem mit eingesetzten Randbedingungen lautet also:
c) Statische Kondensation
Unter statischer Kondensation versteht man die Vereinfachung des Gleichungssystems durch Umsortierung nach bekannten und unbekannten Größen. (siehe auch: hier)
In unserem Fall ergibt sich das vereinfachte System:
Durch Spaltentausch wird aus der Matrix:
Durch Zeilentausch erhalten wir dann das LGS:
Zur Lösung schreiben wir:
Aus (1) folgt:
Für die Inverse gilt:
Damit folgt:
In der Aufgabenstellung ist gegeben:
Damit folgt:
Aus (2) folgt schließlich:
d) Exakte Approximation
Im Falle einer quadratischen Streckenlast würde für den Lastvektor gelten:
Hierbei steht p für den jeweiligen Polynomgrad.
Für die Anzahl der benötigten Gaußpunkte gilt:
Wir brächten zur exakten Integration des Lastvektors mit linearen Ansatzfunktion und quadratischer Strecken also 2 Gauß-Punkte.
Im Falle eines transienten Problems benötigen wir zur exakten Integration der Massenmatrix:
Für die Anzahl der benötigten Gaußpunkte gilt hier: