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Wir wollen auch komplexe Funktionen differenzieren. Da ein Körper ist, können wir formal wie im eindimensionalen reellen Fall Differenzenquotienten bilden. Sei also offen, und fest.

Definition: Die Funktion heißt komplex differenzierbar in , falls folgender Grenzwert existiert:

.

Äquivalent hierzu: Es gibt ein , so dass

Hierbei ist dann .

Beispiel:

Wie im Reellen zeigt man die Formel für . Differentiation im Komplexen bringt aber mehr als der reelle Fall. Um dies einzusehen, fassen wir wegen die Funktion als Vektorfunktion auf, d.h. zerlegen in Real- und Imaginärteil:

Differenzierbarkeit im Reellen heißt, dass die Jacobi-Matrix

existiert, so dass gilt:

In (R) ist eine Matrix-Vektor-Multiplikation, d.h.

.

In (C) wird dagegen komplex multipliziert, d.h.

.

Damit also Gleichheit vorliegt, muss notwendig gelten und . Anders gesagt: Ist komplex differenzierbar, dann ist im reellen Sinn differenzierbar und die Funktionalmatrix hat folgende spezielle Gestalt:

.

Wir erhalten folgenden Satz.

Satz: Sei die Funktion im Punkt komplex differenzierbar. Dann ist die Vektorfunktion in diesem Punkt reell differenzierbar und in gilt und . Hieraus berechnet sich .

Beispiel:

Wir erhalten das gleiche Ergebnis wie oben:

Definition: Die Funktion heißt holomorph in , falls sie in jedem Punkt komplex differenzierbar und in stetig ist. Man nennt holomorph im Punkt , falls in einer Umgebung von komplex stetig differenzierbar ist.

Bemerkung: Genau wie für reelle Funktionen zeigt man Produkt-, Quotienten- und Kettenregel für holomorphe Funktionen. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung für reelle Funktionen gilt für komplexe Funktionen nicht!

Satz: Die Funktion ist holomorph im Gebiet genau dann, wenn der Realteil und der Imaginärteil von stetige partielle Ableitungen erster Ordnung in besitzen, die dort den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen

genügen. Aus diesen Gleichungen folgt, dass die Determinante der Jacobimatrix gleich ist.

Bemerkung: Man kann zeigen: Ist eine komplexe Funktion in einem Gebiet holomorph (komplex stetig differenzierbar), dann ist in dem Gebiet sogar beliebig oft komplex differenzierbar. Differenzieren wir die erste Gleichung in (CR) nach , die zweite nach und beachten wir, dass dank des Satzes von Schwarz die Differentiationsreihenfolge vertauscht werden darf, so erhalten wir

,

und somit

.

Entsprechend rechnen wir:

.

Folgerung: Sei holomorph. Dann genügt sowohl der Realteil als auch der Imaginärteil von in der Laplaceschen Differentialgleichung:

.

Die Umkehrung gilt in „einfach zusammenhängenden Gebieten“ . Zu einer Lösung von gibt es eine bis auf eine additive Konstante eindeutig bestimmte Funktion , so dass das Paar die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen in erfüllt. Somit wird durch eine in holomorphe Funktion erklärt.