07 – Dimensionierung einer Passfederverbindung – Mathematical Engineering

Zu dimensionieren ist die unten dargestellte Passfederverbindung. Das schwellend zu übertragende Drehmoment beträgt ${M_t} = 200Nm$ . Die Nabe sei aus EN-GJL-200, die Welle aus E295.

passfeder-nabe-welle-aufgabe

7.1. Dimensionieren Sie den Wellenzapfen
7.2. Wählen Sie eine geeignete Passfeder aus und legen Sie die Nabenlänge fest

Lösung

7.1 Dimensionierung des Wellenzapfens

In diesem Fall ist klar, dass im Vergleich zu allen anderen Belastungen, die auf die Welle wirken, das schwellende Torsionsmoment vom Betrag her am größten ist. Wir vernachlässigen daher alle anderen Belastungen, wie etwa die Durchbiegung der Welle durch ihr Eigengewicht.
Um die Welle zu dimensionieren, müssen wir nun zunächst den erforderlichen Durchmesser bestimmen. Da ${M_t}$ die einzige betrachtete Belastung ist, benötigen wir kein Vergleichsmoment. Dieses hätten wir ansonsten mit Hilfe einer Energiehypothese berechnet.
Für den erforderlichen Wellendurchmesser bei Torsionsbeanspruchung gilt:

${d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _{t,zul}}}}}}$

Herleitung:

$\tau _t = \frac{{{M_t}}}{{{W_t}}},\quad {W_t} = \frac{{\pi {d^3}}}{{16}}$

$\Rightarrow \quad {\tau _t} = \frac{{16{M_t}}}{{\pi {d^3}}}\quad \Rightarrow \quad {d^3} = \frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _t}}}\quad \Rightarrow \quad {d_{erf}} = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _{t,zul}}}}}}$

Zu ermitteln ist also zunächst die zulässige Spannung durch Torsionsbelastung. Für diese gilt laut Skript S.84:

${\sigma _{zul}} = \frac{{Werkstoffkennwert}}{{Sicherheit \cdot Betriebsfaktor \cdot Kerbfaktor}} = \frac{k}{{{S_{min}} \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}}$

Für die Sicherheit betrachten wir folgende Tabelle:

sicherheit-faktor-versagen-beanspruchung

Da es sich um eine schwellende Belastung handelt und wir die Sicherheit gegen Knicken suchen, ergibt sich ein Wert von 3 bis 5. Wir wählen wie immer die höchste Sicherheit, es gilt also ${S_{min}} = 5$ .

Für den Betriebsfaktor betrachten wir folgende Tabelle:

betriebsfaktor

Da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt, ist ${C_B} = 1$
Die Welle hat zwar die Passfeder als Kerbe, wir bestimmen aber den kleineren Durchmesser der Welle ohne Passfeder (siehe unten). Daher gibt es keinen Kerbfaktor: ${\alpha _k} = 1$ .
Für den Werkstoffkennwert betrachten wir folgende Tabelle:

Werkstoffkennwert

Es handelt sich um eine schwellende Torsionsbelastung, daher gilt: $k = {\tau _{t,sch}}$ .
Diesen Wert finden wir in der Tabelle mit Werkstoffeigenschaften:

werkstoffkennwerte-tabelle

Da bei der Welle das Material „E295 Stahl“ verwendet wurde, ist ${\tau _{t,sch,N}} = 205\frac{N}{{m{m^2}}}$

Wir setzen alle Werte ein und erhalten:

${\sigma _{zul}} = \frac{k}{{{S_{min}} \cdot {C_B} \cdot {\alpha _k}}} = \frac{{{t_{t,sch,N}}}}{{{S_{min}}}} = \frac{{205\frac{N}{{m{m^2}}}}}{5} = 41\frac{N}{{m{m^2}}}$

Das Profil der Welle mit dem Zapfen sieht in etwa so aus:

passfeder-einbuchtung-moment

Man bestimmt den Durchmesser ${d^\prime }$ des inneren Kreises, da die Passfeder die Belastbarkeit reduziert.

$d_{erf}^\prime = \sqrt[3]{{\frac{{16{M_t}}}{{\pi {\tau _{t,zul}}}}}} = \sqrt[3]{{\frac{{16 \cdot 200 \cdot {{10}^3}Nmm}}{{\pi \cdot 41\frac{N}{{m{m^2}}}}}}} = 29,2mm$

Der Wellenzapfen ist mit $29mm$ gut dimensioniert, da wir eine hohe Sicherheit benutzt haben.

7.2 Auswahl der Passfeder und Festlegung der Nabenlänge

Wir betrachten die Tabelle mit verschiedenen Passfedern:

passfedern-tabelle-abmessungen

Mit der entsprechenden Passfeder (22…30) erhalten wir eine Wellennuttiefe von ${t_1} = 4mm$ . Daraus ergibt sich ein Wellengesamtdurchmesser von $d = {d^\prime }+{t_1} = 29mm+4mm = 33mm$ . Dieser Durchmesser ist nicht mehr im gewählten Bereich (22…30). Wir wählen die nächst größere Passfeder (30…38) mit den Abmessungen $b = 10mm,h = 8mm,{t_1} = 5mm$ . Es ergibt sich ein Wellengesamtdurchmesser von $d = {d^\prime }+{t_1} = 29mm+5mm = 34mm$ . Die Passfeder würde also im gewählten Rahmen liegen.
Gesucht ist nun die Passfederlänge $L$ . Hierfür benötigen wir die tragende Passfederlänge ${l_{tr}}$ für die gilt:

${l_{tr}} = \frac{{2 \cdot T}}{{d \cdot i \cdot \varphi \cdot \left( {h-{t_1}} \right) \cdot {p_{zul}}}}$

Erläuterung der Variablen: Torsionsmoment $T$ , Wellendurchmesser $d$ , Anzahl der Passfedern $i$ , Traganteil $\varphi$ , Passfederhöhe $h$ , Wellennuttiefe ${t_1}$ und zulässige Flächenpressung ${p_{zul}}$ .

Eine Grafik zur Veranschaulichung:

tragende-passfederlange-belastung

Nun müssen wir alle in der Formel vorkommenden Größen bestimmen!

Das Torsionsmoment ist in der Aufgabenstellung gegeben, den Wellendurchmesser haben wir bereits berechnet, die Anzahl der Passfedern ist $1$ , für $i = 1$ ist der Traganteil immer $\varphi = 1$ .
Wir kennen die Abmessungen der Passfeder: $h-{t_1} = 8mm-5mm = 3mm$ . Diesen Wert verwenden wir, da die Welle aus dem härteren Material gefertigt ist. Ansonsten hätten wir als Länge die $5mm$ nutzen müssen, die in der Welle stecken.

Für die folgenden Berechnungen betrachten wir zunächst folgende Tabelle:

nabe-verbindung-passfeder-keil-sicherheit

Für die mittlere zulässige Flächenpressung der Nabe (Grauguss) gilt:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_m}}}{{{S_{B,\min }}}}$

Aus einer Tabelle mit Werkstoffeigenschaften oben suchen wir das Material der Nabe heraus (EN-GJL-200). Es gilt: ${R_m} = 200\frac{N}{{m{m^2}}}$ . Für die Sicherheit verwenden wir an dieser Stelle ${S_{B,\min }} = 2$ .

Für die mittlere zulässige Flächenpressung der Nabe folgt:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_m}}}{{{S_{B,\min }}}} = \frac{{200\frac{N}{{m{m^2}}}}}{2} = 100\frac{N}{{m{m^2}}}$

Für die mittlere zulässige Flächenpressung der Welle (Stahl) gilt:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_e}}}{{{S_{F,\min }}}}$

Werte einsetzen:

$\overline {{p_{zul}}} = \frac{{{R_e}}}{{{S_{F,\min }}}} = \frac{{295\frac{N}{{m{m^2}}}}}{{1,5}} \approx 200\frac{N}{{m{m^2}}}$

Wir kommen zurück zur tragenden Passfederlänge und setzen alle Werte in die Formel ein:

${l_{tr}} = \frac{{2 \cdot T}}{{d \cdot i \cdot \varphi \cdot \left( {h-{t_1}} \right) \cdot {p_{zul}}}} = \frac{{2 \cdot 200 \cdot {{10}^3}Nmm}}{{34mm \cdot 1 \cdot 1 \cdot 3mm \cdot 100\frac{N}{{m{m^2}}}}} = 39,2mm$

Dabei wurde für die mittlere Flächenpressung der kleinere von den beiden Werten benutzt, da das schwächere Material zuerst versagt. Abschließend bleibt nun noch die Überprüfung der tragenden Länge der Passfeder hinsichtlich ihrer Größendimensionierung.

Laut „Dubbel TB für den Maschinenbau“ muss gelten:

Wenn $\overline {{p_{zul}}} \geq 90\frac{N}{{m{m^2}}}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{l_{tr}}}}{d} \leq 1,3$ .

In unserem Fall ist

$\frac{{{l_{tr}}}}{d} = \frac{{39,2mm}}{{34mm}} \approx 1,15 \leq 1,3\quad \Rightarrow \quad$ in Ordnung

Für die Mindestpassfederlänge gilt:

${L^\prime } = {l_{tr}}+2r = 39,2mm+10mm = 49,2mm$

Den Radius entnehmen wir den Daten aus der Tabelle mit Passfedern (halbe Breite).

Aus der Tabelle wählen wir eine Passfederlänge von $L = 50mm$ und haben damit alle Anforderungen erfüllt.

Es ergibt sich letztendlich eine Passfeder der DIN-Bezeichnung:

DIN 6885 – A10 x 8 x 50

Im letzten Schritt bestimmen wir noch die Nabenlänge. Für diese gilt:

${L_N} = \left( {1,6 \ldots 2,1} \right) \cdot d$ (für Grauguss)

Daraus ergibt sich für die Nabenlänge ein Intervall von 55 bis 71mm, im Mittel etwa 60mm.

This Post Has 9 Comments

yb
19 Mar 2011

Servus,

in der Formel zur tragenden Länge l_tr / d =39,2mm / 34mm fehlt vor dem 1,15 das “=” bzw. “ungefähr =”.
admin
19 Mar 2011

Danke für den Hinweis, wurde geändert.
Matze
1 Dec 2013

Hallo,

der folgende Satz kann nicht ganz stimmen:

“Wir kennen die Abmessungen der Passfeder: h-{t_1} = 8mm-5mm = 3mm. Diesen Wert verwenden wir, da die Welle aus dem härteren Material gefertigt ist. Ansonsten hätten wir die Länge 5mm nutzen müssen, die der Nabe steckt.” ????

Die Höhe 5mm steckt doch in der Welle nicht in der Nabe, denn wenn ich für die Welle den schlechteren Werkstoff wähle muss ich doch die Flächenpressung an der Welle rechnen.
Engin
13 Sep 2014

Servus,

Warum wurde bei der Dimensionierung der Welle für Smin die Knicksicherheit eingesetzt ? Die Welle wird ja eigentlich nur auf Torsion beansprucht. Ich glaube mit einer 5-fachen Sicherheit ist die Welle überdimensioniert oder habe ich irgendwo ein Denkfehler ?
masch-student
9 Dec 2014

Sehr schade, dass die Quellenangaben recht schwammig sind… der Roloff Matek hat ja NUR 242 Seiten.. da reicht es das Buch als Quelle OHNE Seitenangabe hinzuschreiben. Entweder bin ich unfähig, ein E-Book richtig zu durchsuchen, oder in meinem Roloff Matek wurde die Seite mit dieser Übersicht für die Tabelle der zulässigen Flächenpressung herausgerissen aus meinem E-Book – schade. Ansonsten aber sehr übersichtlich.
JK
11 Mar 2016

@masch-student: Da wir die Tabellen jeweils auf einem Extrablatt zur Aufgabenstellung dazu erhalten haben, kann ich dir bei den genauen Quellen leider nicht weiterhelfen.
JK
14 Mar 2016

@Engin: Gemäß Wikipedia spricht man von Knicken auch bei “einem Verdrehen des Stab- bzw. Balkenquerschnitts (Drillknicken)”. Die 5 nutzen wir wie beschrieben, weil wir immer mir der höchsten Sicherheit rechnen.
JK
14 Mar 2016

@Matze: Du hast Recht. Die Rechnung stimmt, aber im letzten Satz müsste Welle statt Nabe stehen. Hab’s korrigiert. Danke! 🙂
MX
14 Aug 2018

Ich hoffe, mir kann hier jemand helfen, da ich eine Passfederverbindung berechnen muss mit den folgenden Parametern und leider vollkommen ungeübt bin darin. Folgende Daten habe ich:
Wellen-Ø 25mm
Anzahl Passfedern dzt.: 2
Passfedergröße (BxHxL): 4x4x12mm
Nuttiefe in der Welle: 2,5mm mit P9 Pressitz
Wellen-/Nabenmaterial: Aluminium EN-AW 7075-T6
max. Drehmoment, das oszillierend kurzzeitig einwirkt: 100N auf 80mm Hebelarm (= 1250Nm) – üblicherweise im Betrieb jedoch deutlich weniger, etwa 600Nm

Die Frage, die sich stellt: hält die Passfederverbindung dauerhaft bei der genannten Belastung? Falls nein, hält sie, wenn ich die Anzahl der Passfedern erhöhe? Auf wie viele Passfedern gesamt? Oder einfach den Werkstoff von Welle/Nabe ändere?
Nicht veränderbar sind – baulich bedingt: der Wellen-Ø (gut, 1-2mm im Ø kann die Welle notfalls zunehmen) und die Länge der Passfeder.
Veränderbar sind: der Werkstoff der Welle und Nabe (dzt. beides Alu EN-AW 7075T6) und die Anzahl der Passfedern (dzt. 2)

Hoffe, es kann mir hier jemand weiterhelfen.

Lösung

7.1 Dimensionierung des Wellenzapfens

7.2 Auswahl der Passfeder und Festlegung der Nabenlänge

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