22 – Drehzahl- und Lastkollektiv – Mathematical Engineering

Die im Bild vereinfacht dargestellte Welle ist im Rahmen eines Arbeitsprogramms entsprechend dem im Bild dargestellten zeitlichen veränderlichen Belastungen und Drehzahlen unterworfen.

1. Ermitteln Sie die dynamischen äquivalenten Lagerbelastungen für die Lagerstellen A und B
2. an Lagerstelle A soll ein Zylinderrollenlager als Loslager, an Lagerstelle B ein Rillenkugellager als Festlager verwendet werden. Wählen Sie geeignete Lagergrößen aus, wenn für beide Lager eine nominelle Lebensdauer von ${L_h} = 8000h$ gefordert wird.

drehzahl-lastkollektiv-zylinderrollenlager

Maße und Belastungen:

angaben-grossen-belastungen

Lösung

22.1 – Ermittlung der äquivalenten Lagerbelastung

Wir berechnen zunächst die Lagerreaktionen.

Angreifendes Moment, betrachtet mit Referenzpunkt A:

$-{F_r} \cdot a+{F_{Br}} \cdot \left( {a+b} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {F_{Br}} = \frac{{{F_r} \cdot a}}{{a+b}} = \frac{1}{3}{F_r}$

Kräftegleichgewicht:

$\uparrow :\quad {F_{Ar}}-{F_r}+{F_{Br}} = 0\quad \Rightarrow \quad {F_{Ar}} = {F_r}-{F_{Br}} = \frac{2}{3}{F_r}$

$\to :\quad {F_{Ba}}-{F_a} = 0\quad \Rightarrow \quad {F_{Ba}} = {F_a}$

Die Belastung ändert sich über die Zeit (siehe Tabelle und Diagramm in der Aufgabenstellung). Die Ermittlung der äquivalenten Lagerlast setzt jedoch eine konstante Belastung bei einer annährend konstanten Drehzahl voraus. Die äquivalente Belastung ist daher in diesem Fall aus den verschiedenen Belastungen und Drehzahlen zusammenzusetzen. Wir verwenden die Formel:

$P = {\left( {P_1^p \cdot \frac{{{n_1}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_1}}}{{100\% }}+P_2^p \cdot \frac{{{n_2}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_2}}}{{100\% }}+ \ldots +P_n^p \cdot \frac{{{n_n}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_n}}}{{100\% }}} \right)^{\frac{1}{p}}}$

Dabei ist ${P_i}$ die äquivalente Belastung im jeweiligen Zeitabschnitt, ${q_i}$ die Wirkungsdauer der einzelnen Betriebszustände in %, ${n_i}$ die jeweilige Drehzahl und ${n_m}$ die mittlere Drehzahl. Das kleine $p$ ist der Lebensdauerexponent des Lagers. Es gilt für diesen:

Kugellager: $p = 3$
Rollenlager: $p = \frac{{10}}{3}$

Wir beginnen mit der Berechnung der mittleren Drehzahl:

${n_m} = {n_1} \cdot \frac{{{q_1}}}{{100\% }}+{n_2} \cdot \frac{{{q_2}}}{{100\% }}+ \ldots +{n_n} \cdot \frac{{{q_n}}}{{100\% }}$

$= 500\frac{1}{{\min }} \cdot \frac{{18,0\% }}{{100\% }}+450\frac{1}{{\min }} \cdot \frac{{25,0\% }}{{100\% }}+570\frac{1}{{\min }} \cdot \frac{{12,5\% }}{{100\% }}+600\frac{1}{{\min }} \cdot \frac{{25,0\% }}{{100\% }}+666\frac{1}{{\min }} \cdot \frac{{19,5\% }}{{100\% }}$

$= 553,6\frac{1}{{\min }}$

Bei der Bestimmung der äquivalenten Belastung müssen wir zwischen den beiden Lagern unterscheiden, da es sich links um ein Loslager und rechts um ein Festlager handelt.

Lager A

Bei einem Loslager ist die Axialkraft immer gleich 0: ${F_{Aa,i}} = 0$ . Daraus folgt:

$\frac{{{F_{Aa,i}}}}{{{F_{Ar,i}}}} = \frac{0}{{{F_{Ar,i}}}} = 0 < e$ (auch wenn $e$ nicht genau bekannt ist!)

Für die äquivalente Belastung gilt daher:

${P_i} = {F_{Ar,i}} = \frac{2}{3}{F_{r,i}}$

Wir setzen alles in die Formel für die kombinierte äquivalente Lagerlast ein:

${P_A} = {\left( {P_1^p \cdot \frac{{{n_1}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_1}}}{{100\% }}+P_2^p \cdot \frac{{{n_2}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_2}}}{{100\% }}+ \ldots +P_n^p \cdot \frac{{{n_n}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_n}}}{{100\% }}} \right)^{\frac{1}{p}}}$

$= \sqrt[{\frac{{10}}{3}}]{{\frac{{\sum\limits_{i = 1}^5 {F_{Ar,i}^{\left( {\frac{{10}}{3}} \right)} \cdot {q_i} \cdot {n_i}} }}{{{n_m} \cdot 100\% }}}}= \left[ {{{\left( {\frac{2}{3} \cdot 45 \cdot {{10}^3}N} \right)}^{\frac{{10}}{3}}} \cdot \frac{{500\frac{1}{{\min }}}}{{553,6\frac{1}{{\min }}}} \cdot \frac{{18,0\% }}{{100\% }}} \right.$

$+{\left( {\frac{2}{3} \cdot 39 \cdot {{10}^3}N} \right)^{\frac{{10}}{3}}} \cdot \frac{{450\frac{1}{{\min }}}}{{553,6\frac{1}{{\min }}}} \cdot \frac{{25,0\% }}{{100\% }}+{\left( {\frac{2}{3} \cdot 42 \cdot {{10}^3}N} \right)^{\frac{{10}}{3}}} \cdot \frac{{570\frac{1}{{\min }}}}{{553,6\frac{1}{{\min }}}} \cdot \frac{{12,5\% }}{{100\% }}$

$+{\left( {\frac{2}{3} \cdot 42 \cdot {{10}^3}N} \right)^{\frac{{10}}{3}}} \cdot \frac{{600\frac{1}{{\min }}}}{{553,6\frac{1}{{\min }}}} \cdot \frac{{25,0\% }}{{100\% }}{\left. {+{{\left( {\frac{2}{3} \cdot 48 \cdot {{10}^3}N} \right)}^{\frac{{10}}{3}}} \cdot \frac{{666\frac{1}{{\min }}}}{{553,6\frac{1}{{\min }}}} \cdot \frac{{19,5\% }}{{100\% }}} \right]^{\frac{3}{{10}}}}$

$= 29,04kN$

Lager B (Fest, Rillenkugellager)

Da es sich um ein Kugellager handelt, ist $p = 3$ .

In diesem Fall ist die Axialkraft mit in die Rechnung einzubeziehen (Festlager). Da wir für die Auswahl der Formel für die äquivalente Lagerbelastung schon den Faktor $e$ brauchen, der vom Lager abhängt, müssen wir „blind“ ein Lager auswählen, und nach der Rechnung gegebenenfalls mit einem anderen Lager wieder von vorne anfangen.

Wir wählen das Lager 6316 mit den Kennwerten:

${C_r} = 122000N$

${C_{0r}} = 86500N$

${f_0} = 13,2$

Zur Bestimmung des Faktors ${f_0}$ siehe den vorherigen Artikel.

Nun muss für jedes Lastintervall bestimmt werden:

1. $\frac{{{f_0} \cdot {F_{Bai}}}}{{{C_{0r}}}}\quad \Rightarrow \quad$ als Referenzwert für die Tabellenwerte $e,X,Y$

2. $e\quad \Rightarrow \quad$ zur Auswahl einer der beiden Formeln für die äquivalente Lagerlast:

3. $\frac{{{F_{Ba,i}}}}{{{F_{br,i}}}}\quad \Rightarrow \quad$ zum Vergleich mit $e$

4. ${X_i},{Y_i}\quad \Rightarrow \quad$ für die kombinierte Formel der äquivalenten Lagerlast

$\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{{{F_a}}}{{{F_r}}} \leq e\quad \Rightarrow \quad } & {P = {F_r}} \\ {\frac{{{F_a}}}{{{F_r}}} > e\quad \Rightarrow \quad } & {P = X \cdot {F_r}+Y \cdot {{\text{F}}_a}} \\ \end{array}$

Hier die benötigte Tabelle:

faktoren-rillenlager-belastung

Wir stellen die Ergebnisse als Tabelle zusammen:

$\begin{array}{*{20}{c}} i &\vline & {\frac{{{f_0} \cdot {F_{Ba,i}}}} {{{c_{0r}}}}} & {{e_i}} & {\frac{{{F_{Ba,i}}}} {{{F_{B,ri}}}}} & {\frac{{{F_{Ba,i}}}} {{{F_{Br,i}}}} > e} & {{X_i}} & {{Y_i}} \\ \hline 1 &\vline & {0,76} & {0,24 \ldots 0,28} & {0,33} & {ja} & {0,56} & {1,66} \\ 2 &\vline & {1,07} & {0,28 \ldots 0,32} & {0,54} & {ja} & {0,56} & {1,54} \\ 3 &\vline & {1,53} & {0,28 \ldots 0,32} & {0,71} & {ja} & {0,56} & {1,42} \\ 4 &\vline & {0,76} & {0,24 \ldots 0,28} & {0,36} & {ja} & {0,56} & {1,66} \\ 5 &\vline & 0 &-& 0 & {nein} &-&- \\ \end{array}$

Damit berechnen wir die äquivalente Lagerlast für die einzelnen Lastintervalle:

${F_{B1}} = 0,56 \cdot \frac{1}{3} \cdot 45kN+1,66 \cdot 5kN = 16,7kN$

${F_{B2}} = 18,06kN$

${F_{B3}} = 22,04kN$

${F_{B4}} = 16,14kN$

${F_{B5}} = {F_{Br}} = \frac{1}{3} \cdot 48kN = 16kN$

Bei ${F_{B5}}$ gibt es keine axiale Kraft, daher ist die Belastung gleich der radialen Kraft.

Wir setzen alles in die Formel für die kombinierte Belastung ein:

${P_B} = {\left( {P_1^p \cdot \frac{{{n_1}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_1}}}{{100\% }}+P_2^p \cdot \frac{{{n_2}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_2}}}{{100\% }}+ \ldots +P_n^p \cdot \frac{{{n_n}}}{{{n_m}}} \cdot \frac{{{q_n}}}{{100\% }}} \right)^{\frac{1}{p}}}$

$=\sqrt[3]{{\frac{{\sum\limits_{i = 1}^5 {F_{B,i}^3 \cdot {q_i} \cdot {n_i}} }}{{{n_m} \cdot 100\% }}}}$

$=\left[ {{{\left( {16,7 \cdot {{10}^3}N} \right)}^3} \cdot \frac{{500}}{{553,6}} \cdot \frac{{18,0\% }}{{100\% }}} \right.+{\left( {18,06 \cdot {{10}^3}N} \right)^3} \cdot \frac{{450}}{{553,6}} \cdot \frac{{25,0\% }}{{100\% }}$

$+{\left( {22,04\cdot{{10}^3}N} \right)^3}\cdot\frac{{570}}{{553,6}}\cdot\frac{{12,5\% }}{{100\% }}+{\left( {16,14\cdot{{10}^3}N} \right)^3}\cdot\frac{{600}}{{553,6}}\cdot\frac{{25,0\% }}{{100\% }}$

${\left. {+{{\left( {16\cdot{{10}^3}N} \right)}^3}\cdot\frac{{666}}{{553,6}}\cdot\frac{{19,5\% }}{{100\% }}} \right]^{\frac{1}{3}}}$

$= 17,58kN$

22.2 – Auswahl eines Lagers

Lager A

Laut Aufgabenstellung (technische Zeichnung) ist der Durchmesser des Lagers gefordert als:

$d = 100mm$

Wir stellen die Formel für die Berechnung der nominellen Lebensdauer nach der Tragzahl um, um für diese den erforderlichen Wert zu ermitteln:

${L_h} = \frac{{{{10}^6}}}{{60n}}{\left( {\frac{C}{P}} \right)^p}\quad \Rightarrow \quad {C_{erf}} \geq \sqrt[p]{{\frac{{{L_h} \cdot 60 \cdot n}}{{{{10}^6}}}}} \cdot P$

Für die Lebensdauer ${L_h}$ sind ${L_h} = 8000h$ gefordert. Für die Drehzahl benutzen wir die oben berechnete gemittelte Drehzahl. Für die äquivalente Lagerlast $P$ verwenden wir ebenfalls den oben bestimmten Wert ${P_A} = 29,04kN$ :

${C_{A,erf}} = \sqrt[p]{{\frac{{{L_h} \cdot 60 \cdot {n_m}}}{{{{10}^6}}}}} \cdot {P_A} = \sqrt[{\frac{{10}}{3}}]{{\frac{{8000 \cdot 60\min \cdot 553,6\frac{1}{{\min }}}}{{{{10}^6}}}}} \cdot 29,04 \cdot {10^3}N$