3.5 – Der Dualraum H-s[0,2π] – Mathematical Engineering

3.5 – Der Dualraum H^-s[0,2π]

Satz: Für $0 \leq s < \infty$ bezeichnet ${H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]$ den Dualraum zu ${H^s}\left[ {0,2\pi } \right]$ , nämlich den linearen Raum aller stetigen Linearformen auf ${H^s}\left[ {0,2\pi } \right]$ .

Für ein beliebiges $F \in {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]$ sei ${c_k} = F\left( {{\chi _k}} \right)$ . Dann gilt

${\left\| F \right\|_{-s}} = \sqrt {\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^{-s}}{{\left| {{c_k}} \right|}^2}} }$ .

Umgekehrt ist jeder Folge ${\left\{ {{c_k}} \right\}_{k \in \mathbb{Z}}} \subset \mathbb{C}$ mit

$\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^{-s}}{{\left| {{c_k}} \right|}^2}} < \infty$

ein spezifisches $F \in {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]$ zugeordnet, das durch $F\left( {{\chi _k}} \right) = {c_k}$ definiert ist.

Satz: Sei $g \in {L^2}\left[ {0,2\pi } \right]$ . Dann definiert das duale Paar

$G\left( \varphi \right): = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_0^{2\pi } {\varphi \left( t \right)\overline {g\left( t \right)} \:dt} ,\quad \varphi \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]$

eine Linearform $G \in {H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]$ . Dann macht die kanonische Abbildung $g \mapsto G$ ${L^2}\left[ {0,2\pi } \right]$ zu einem Unterraum eines jeden Dualraumes ${H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]$ ( $s \geq 0$ ) und die trigonometrischen Polynome liegen dicht in ${H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]$ .

Zusammenfassung

Das Skalarprodukt ${\left\langle {\varphi ,\psi } \right\rangle _s}: = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^s}{a_k}{{\bar b}_k}}$ , das bereits für $s \geq 0$ eingeführt wurde, gilt auch für $s < 0$ . Mit diesem Skalarprodukt werden die Dualräume ${H^{-s}}\left[ {0,2\pi } \right]$ auch zu Hilbert-Räumen. Für den Spezialfall $s = 0$ ist $g \mapsto G$ eine Bijektion und eine Norm-Isometrie ${\left\| G \right\|_0} = {\left\| g \right\|_0}$ .