Für viele Probleme ist es praktisch, periodische Funktionen (oder Funktionen, die sich periodisch fortsetzen lassen), in einer Fourier-Reihe zu entwickeln. Haben wir eine solche Reihe, müssen wir uns nur noch mit den Fourier-Koeffizienten beschäftigen und erhalten leicht endlich-dimensionale Unterräume von Funktionenräumen, indem wir die Reihe nur bis zu einem bestimmten betrachten.
Definition: Sei eine komplexwertige periodische Funktion mit Periode 1. Dann ist
die Fourier-Reihe für . Die Werte
für
nennen wir Fourier-Koeffizienten. Ein trigonometrisches Polynom ist eine abgeschnittene Fourier-Reihe, also
.
Sei der Raum aller dieser trigonometrischen Polynome. Endlich-dimensionale Unterräume dieses Raums sind zum Beispiel
.
Die Dimension von ist
, da wir so viele Basisfunktionen
haben. Die Basisfunktionen sind orthonormal in
:
Eigenschaften von Fourier-Reihen
- Parsevalsche Gleichung (Abgeschlossenheitsrelation, allgemeine Form des Satzes des Pythagoras für Innenprodukträume):
- Differentiation entspricht Multiplikation mit
: