Es gibt viele Möglichkeiten, Sobolev-Räume zu definieren. Die folgende basiert auf trigonometrischen Polynomen und der Fouriertransformation. Wir definieren zunächst die Norm für :
Der Sobolev-Raum ist nun definiert als der Abschluss von
unter der Norm
.
ist ein Hilbert-Raum über
mit innerem Produkt
.
Eigenschaften von Hs
wegen der Parsevalschen Gleichung
-te Ableitung
für
,
. Das bedeutet, dass sich
bei Differentiation genauso verhält wie der Raum
:
.
Beachte:- In
sind die Funktionen, die
mal stetig differenzierbar sind, während die
-te Ableitung im schwachen Sinne verstanden wird. Beispiel:
,
Die-te Ableitung muss noch in
liegen.
Mit den Basisfunktionen
von
sei
.
Dann ist eine orthogonale Projektion auf
, da für alle
,
gilt:
(
ist symmetrisch)
(
ist idempotent)
Daher gilt für :
,
wobei die erste Summe gleich , da
.
Daher zeigt die Wahl , dass
,
und ist die beste Repräsentation von
in
(unabhängig von
).