3.2 – Einführung in Sobolev-Räume – Mathematical Engineering

Es gibt viele Möglichkeiten, Sobolev-Räume zu definieren. Die folgende basiert auf trigonometrischen Polynomen und der Fouriertransformation. Wir definieren zunächst die Norm für $s \in \mathbb{R}$ :

$\left\| f \right\|_s^2 = \left\| f \right\|_{{H^s}}^2: = \sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\hat k}^{2s}}{{\left| {\hat f\left( k \right)} \right|}^2}} ,\quad \hat k: = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1,}&{k = 0} \\ {2\pi \left| k \right|,}&{k \ne 0} \end{array}} \right.$

Der Sobolev-Raum ${H^s}$ ist nun definiert als der Abschluss von $T$ unter der Norm ${\left\| {\: \cdot \:} \right\|_s}$ . ${H^s}$ ist ein Hilbert-Raum über $\mathbb{C}$ mit innerem Produkt

${\left\langle {f,g} \right\rangle _s}: = \sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\hat k}^{2s}}\hat f\left( k \right)\overline {\hat g\left( k \right)} }$ .

Eigenschaften von H^s

${H^0} = {L^2}$ wegen der Parsevalschen Gleichung
$f \in {H^s} \Leftrightarrow j$ -te Ableitung ${f^{\left( j \right)}} \in {H^{s-j}}$ für $s \in \mathbb{R}$ , $j \in \mathbb{N}$ . Das bedeutet, dass sich ${H^s}$ bei Differentiation genauso verhält wie der Raum ${C^n}$ : $f \in {C^n} \Leftrightarrow {f^{\left( j \right)}} \in {C^{n-j}},\:\:n,j \in \mathbb{N},\:\:n > j$
$s \geq t \Rightarrow {H^s} \subset {H^t}$ .
Beachte: ${C^\infty } \subset \ldots \subset {H^s} \subset \ldots \subset {H^0} = {L^2} \subset \ldots \subset {H^t} \subset \ldots ,\:\:s > 0,t < 0$
In ${H^n}$ sind die Funktionen, die $n-1$ mal stetig differenzierbar sind, während die $n$ -te Ableitung im schwachen Sinne verstanden wird. Beispiel: ${H^1} \subset {C^0}$ , ${C^1} \subset {H^1}$
Die $n$ -te Ableitung muss noch in ${L^2}$ liegen.

Mit den $\left( {2N+1} \right)$ Basisfunktionen ${w_k}$ von ${T_N}$ sei

${P_N}:{H^s} \to {T_N},\quad u = \sum\limits_{k = -\infty }^\infty {\hat u\left( k \right){w_k}} \mapsto {P_N}u = \sum\limits_{k = -N}^N {\hat u\left( k \right){w_k}}$ .

Dann ist ${P_N}$ eine orthogonale Projektion auf ${T_N}$ , da für alle $s \in \mathbb{R}$ , $u,v \in {H^s}$ gilt:

${\left\langle {{P_N}u,v} \right\rangle _s} = \sum\limits_{k = -N}^N {{{\hat k}^{2s}}\hat u\left( k \right)\overline {\hat v\left( k \right)} } = {\left\langle {u,{P_N}v} \right\rangle _s}$ ( ${P_N}$ ist symmetrisch)

$P_N^2 = {P_N}$ ( ${P_N}$ ist idempotent)

Daher gilt für $v \in {T_N}$ :

$\left\| {u-v} \right\|_{{H^s}}^2 = \sum\limits_{k = -N}^N {{{\hat k}^{2s}}{{\left| {\hat u\left( k \right)-\hat v\left( k \right)} \right|}^2}} +\sum\limits_{\left| k \right| > N} {{{\hat k}^{2s}}{{\left| {\hat u\left( k \right)} \right|}^2}}$ ,