A 15 – Flüssigkeit in einem Reagenzglas – Mathematical Engineering

In einem Reagenzglas mit der Höhe $H$ und dem Durchmesser $d$ befindet sich eine Flüssigkeit, die langsam verdampft. Die Flüssigkeit ist konstant auf der Temperatur $T$ . Quer zum Reagenzglas weht ein schwacher Wind, sodass aus dem Reagenzglas austretende Dämpfe der Flüssigkeit sofort weggeweht werden.

reagenzglas

Annahmen:

Betrachten Sie den Flüssigkeitsstand bei der Berechnung des übergehenden Massenstroms als konstant (quasistationäre Rechnung).
Luft ist nicht in Flüssigkeit löslich.

Aufgaben:

Wie hoch ist der Dampfdruck der Flüssigkeit und der Partialdruck über der Flüssigkeitsoberfläche bei $z = {h_1}$ ?
Berechnen Sie den Diffusionskoeffizienten ${D_{{\text{Fl/Luft}}}}$ mit der Gleichung von Hirschfelder/Bird/Spotz.
Berechnen Sie mithilfe des Filmmodells den übergehenden flächenspezifischen Flüssigkeitsmassenstrom beim Füllstand ${h_1}$ .
Wie lange dauert es, bis der Füllstand von ${h_0}$ auf ${h_1}$ gesunken ist?
Wie hoch ist die Flüssigkeitskonzentration an der Stelle ${h_0}$ ?

Gegeben:

Höhen: $H = 150\;{\text{mm}}{\text{,}}\quad {h_0} = 10\;{\text{mm}},\quad {h_1} = 50\;{\text{mm}}$

Durchmesser: $d = 10\;{\text{mm}}$

Druck: $p = 1\;{\text{bar}}$

Temperatur: $22^\circ C$

Molmasse Luft: ${\hat M_{{\text{Luft}}}} = 29\;{\text{g/mol}}$

Molmasse Flüssigkeit: ${\hat M_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} = 130\;{\text{g/mol}}$

Siedetemperatur Flüssigkeit: ${T_S} = 93^\circ C$

Dampfdruck bei $T = 0^\circ C$ : $p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^0 = 200\;{\text{Pa}}$

Lennard-Jones-Potential: $\Omega \left( {1,3 \cdot {T_r}} \right) = 1,24$

Kritisches Volumen Luft: ${V_{{\text{krit}}.\;{\text{Luft}}}} = 0,083\;{{\text{m}}^3}{\text{/kmol}}$

Kritisches Volumen Flüssigkeit: ${V_{{\text{krit}}.\;{\text{Luft}}}} = 0,396\;{{\text{m}}^3}{\text{/kmol}}$

Dichte der Flüssigkeit: ${\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}} = 1090\;{\text{kg/}}{{\text{m}}^3}$

Vereinfachte Antoine-Gleichung: $p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^0 = {10^{A-\frac{B}{T}}}\left[ {{\text{Pa}}} \right]$ und $T = \left[ {\text{K}} \right]$

Zahlengleichung für den Diffusionskoeffizienten in ${{\text{m}}^2}/{\text{s}}$ nach (Hirschfelder/Bird/Spotz):

${D_{ab}} = F \cdot \frac{{{T^{3/2}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{{{\hat M}_a}}}+\frac{1}{{{{\hat M}_b}}}} }}{{\Omega \left( {1,3 \cdot {T_r}} \right) \cdot p \cdot {{\left( {V_{{\text{krit}}{\text{.}}\;a}^{1/3}+V_{{\text{krit}}{\text{.}}\;b}^{1/3}} \right)}^2}}}$ mit $F = \left( {1,21-0,0278 \cdot \sqrt {\frac{1}{{{{\hat M}_a}}}+\frac{1}{{{{\hat M}_b}}}} } \right) \cdot {10^{-8}}$

mit $T$ in ${\text{K}}$ , $\hat M$ in $\frac{{{\text{kg}}}}{{{\text{kmol}}}}$ , $p$ in ${\text{bar}}$ und ${V_{{\text{krit}}{\text{.}}}}$ in $\frac{{{{\text{m}}^3}}}{{{\text{kmol}}}}$ .

Lösung

a) Partialdruck und Dampfdruck

Für den Partialdruck der Flüssigkeit gilt:

${p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {z = 0} \right) = 0\;{\text{bar}}$

${p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {z = {h_1}} \right) = \underbrace {{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}_1 \cdot p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^0\left( {T = 22^\circ C} \right) = p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^0\left( {T = 22^\circ C} \right)$

Zur Bestimmung des Dampfdruckes bei 22°C benötigen wir nun die Antoine-Gleichung:

$p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^0 = {10^{A-\frac{B}{T}}}$

zur Bestimmung der Parameter $A$ und $B$ nutzen wir den gegebenen Dampfdruck bei 0°C und die Tatsache, dass bei Erreichen der Siedetemperatur die Flüssigkeit den Umgebungsdruck annehmen muss:

$p = 1 \cdot {10^5}\;{\text{Pa}} = {10^{A-\frac{B}{{366,15\;{\text{K}}}}}}\quad \Rightarrow \quad A = {\log _{10}}\left( {1 \cdot {{10}^5}\;{\text{Pa}}} \right)+\frac{B}{{366,15\;{\text{K}}}}$

$200\;{\text{Pa}} = {10^{A-\frac{B}{{273,15\;{\text{K}}}}}} = {10^{{{\log }_{10}}\left( {1 \cdot {{10}^5}\;{\text{Pa}}} \right)+\frac{B}{{366,15\;{\text{K}}}}-\frac{B}{{273,15\;{\text{K}}}}}}$

$\Rightarrow \quad {\log _{10}}\left( {200\;{\text{Pa}}} \right) = 5+B \cdot \left( {\frac{1}{{366,15\;{\text{K}}}}-\frac{1}{{273,15\;{\text{K}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad B = \frac{{{{\log }_{10}}\left( {200\;{\text{Pa}}} \right)-5}}{{\frac{1}{{366,15\;{\text{K}}}}-\frac{1}{{273,15\;{\text{K}}}}}} = 2902,52$

$\Rightarrow \quad A = 5+\frac{B}{{366,15\;{\text{K}}}} = 12,93$

Damit folgt:

${p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {z = {h_1}} \right) = p_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^0\left( {T = 22^\circ C} \right) = {10^{A-\frac{B}{{295,15}}}} = 1239\;{\text{Pa}}\quad \left( { = 1247,4\;{\text{Pa}}} \right)$

b) Diffusionskoeffizient

$F = \left( {1,21-0,0278 \cdot \sqrt {\frac{1}{{{{\hat M}_a}}}+\frac{1}{{{{\hat M}_b}}}} } \right) \cdot {10^{-8}} = 1,204 \cdot {10^{-8}}$

${D_{ab}} = F \cdot \frac{{{T^{3/2}} \cdot \sqrt {\frac{1}{{{{\hat M}_a}}}+\frac{1}{{{{\hat M}_b}}}} }}{{\Omega \left( {1,3 \cdot {T_r}} \right) \cdot p \cdot {{\left( {V_{{\text{krit}}{\text{.}}\;a}^{1/3}+V_{{\text{krit}}{\text{.}}\;b}^{1/3}} \right)}^2}}} = 7,381 \cdot {10^{-6}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}}$

c) Flächenspezifischer Flüssigkeitsmassenstrom

Für den flächenspezifischen Flüssigkeits-Stoffstrom gilt:

$j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^* = \underbrace {{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot \left( {j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^*+j_{{\text{Luft}}}^*} \right)}_{{\text{konvektiver}}\;{\text{Anteil}}}-\underbrace {nD\frac{{d{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{dz}}}_{{\text{Diffusion}}}$

Wenn Luft nicht in der Flüssigkeit löslich ist, muss im stationären Zustand nur soviel Luft nachströmen, wie Flüssigkeit verdampft und durch Diffusion abgeführt wird. Das bedeutet, der konvektive Strom der Luft muss gleich Null sein:

$j_{{\text{Luft}}}^* = 0$

Damit folgt:

$j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^* = {x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^*-nD\frac{{d{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{dz}}$

$\Rightarrow \quad j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^*dz = -\frac{{nD}}{{1-{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}d{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\qquad \left| {\int {} } \right.$

$\left[ {\int {\frac{1}{{1-x}} = -\ln \left( {1-x} \right)+c} } \right]$

$\Rightarrow \quad j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^*z = \left. {nD\ln \left( {1-{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}} \right)} \right|_{{x_{{\text{Fl}}.,\infty }}}^{{x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}} = nD\ln \left( {\frac{{1-{x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{1-{x_{{\text{Fl}}.,\infty }}}}} \right)$

Mit ${x_{{\text{Fl}}.,\infty }} = 0$ folgt:

$j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^*z = nD\ln \left( {1-{x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}} \right)$

Für den Molenbruch der Flüssigkeit an der Oberfläche gilt:

${x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}} = \frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}$

Wir setzen ein und formen um:

$j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^* = \frac{{nD}}{z}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right);\quad n = \frac{N}{V} = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}}}{{\mathcal{R}T}};\quad z = h$

$\Rightarrow \quad j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^* = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}D}}{{h\mathcal{R}T}}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right)$

Für den flächenspezifischen Flüssigkeitsmassenstrom gilt:

${j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} = j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^* \cdot {{\hat M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}D{{\hat M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{h\mathcal{R}T}}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad {j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {h = {h_1}} \right) = \frac{{{p_{{\text{ges}}}}D{{\hat M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{{h_1}\mathcal{R}T}}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad {j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {h = {h_1}} \right) = \frac{{1 \cdot {{10}^5}{\text{Pa}} \cdot 7,381 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{{\text{m}}^2}}}{{\text{s}}} \cdot 0,13\frac{{{\text{kg}}}}{{{\text{mol}}}}}}{{0,05\;{\text{m}} \cdot 8,314\frac{{\text{J}}}{{{\text{kg}}\;{\text{K}}}} \cdot 295,15\;{\text{K}}}} \cdot \ln \left( {1-\frac{{1247,4\;{\text{Pa}}}}{{1 \cdot {{10}^5}\;{\text{Pa}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad {j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {h = {h_1}} \right) = -9,816 \cdot {10^{-6}}\frac{{{\text{kg}}}}{{{{\text{m}}^2}{\text{s}}}}$

d) Dauer des Absinkens

$\frac{{dm}}{{dt}} = -{{\dot M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} = -{j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot A$

$\frac{{dm}}{{dt}} = \frac{{dm}}{{dz}}\frac{{dz}}{{dt}}$

$m\left( z \right) = {\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot V\left( z \right) = {\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot A \cdot \left( {z-{h_0}} \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{dm}}{{dt}} = {\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot A \cdot \frac{{dz}}{{dt}} = -{j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot A$

$\Rightarrow \quad {\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}} \cdot \frac{{dz}}{{dt}} = -\frac{{{p_{{\text{ges}}}}D{{\hat M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{z\mathcal{R}T}}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad \int\limits_{{h_0}}^{{h_1}} {z\;dz} = -\int\limits_0^T {\frac{{{p_{{\text{ges}}}}D{{\hat M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{\mathcal{R}T{\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right)dt}$

$\Rightarrow \quad \frac{1}{2}\left( {h_1^2-h_0^2} \right) = -\frac{{{p_{{\text{ges}}}}D{{\hat M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{\mathcal{R}T{\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right)T$

$\Rightarrow \quad T = -\frac{{\left( {h_1^2-h_0^2} \right)\mathcal{R}T{\rho _{{\text{Fl}}{\text{.}}}}}}{{2{p_{{\text{ges}}}}D{{\hat M}_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\ln \left( {1-\frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}} \right)}} = 2\;664\;960\;{\text{s}} = 30,84\;{\text{d}}$

e) Flüssigkeitskonzentration

Der Massenstrom $j\left( {{h_1}} \right)$ muss über das gesamte Reagenzglas konstant sein:

$j\left( {{h_1}} \right)\mathop = \limits^! j\left( {{h_0}} \right)$

${j^*}\left( {{h_1}} \right)\mathop = \limits^! {j^*}\left( {{h_0}} \right)$

${x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {{h_1}} \right) = {x_{{\text{Fl}}.,w}}$

Somit folgt:

$j_{{\text{Fl}}{\text{.}}}^* = \frac{{nD}}{z}\ln \left( {1-{x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{nD}}{{{h_1}}}\ln \left( {1-\underbrace {{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {{h_1}} \right)}_{{x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}} \right) = \frac{{nD}}{{{h_0}}}\ln \left( {1-{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {{h_0}} \right)} \right)$

$\Rightarrow \quad \ln \left( {1-{x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {{h_0}} \right)} \right) = \frac{{{h_0}}}{{{h_1}}}\ln \left( {1-{x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}} \right)$

$\Rightarrow \quad {x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {{h_0}} \right) = 1-\exp \left\{ {\frac{{{h_0}}}{{{h_1}}}\ln \left( {1-{x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}} \right)} \right\};\quad {x_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}} = \frac{{{p_{{\text{Fl}}.,{\text{w}}}}}}{{{p_{{\text{ges}}}}}}$

$\Rightarrow \quad {x_{{\text{Fl}}{\text{.}}}}\left( {{h_0}} \right) = 2,507 \cdot {10^{-3}}$

Lösung

a) Partialdruck und Dampfdruck

b) Diffusionskoeffizient

c) Flächenspezifischer Flüssigkeitsmassenstrom

d) Dauer des Absinkens

e) Flüssigkeitskonzentration

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