4.1.1 Approximation mit trigonometrischen Polynomen
Wir wollen nun die Galerkin-Approximation auf mit trigonometrischen Polynomen studieren. Für
mit Koeffizienten
haben wir
.
Wenn wir nun mit
und
definieren, ergibt sich folgendes Theorem.
- Approximationseigenschaft:
- Inverse Schätzung:
Für mit
ist die Abbildung
stetig. Wenn
positiv definit ist, können wir das Lemma von Cea anwenden. Um
auf
,
zu lösen, benutzen wir die Galerkin-Methode mit trigonometrischen Polynomen, d.h. mit
als endlich-dimensionalem Unterraum von Testfunktionen. Es ergibt sich die Fehlerabschätzung
.
4.1.2 Approximation mit Splines
Sei ein Gitter auf
definiert durch
und sei mit Polynomen
in
mit Grad
. Wir nehmen an, dass
ungerade ist. Für jedes Polynom brauchen wir
Koeffizienten. Weil
d-1 mal stetig differenzierbar ist in den Knoten
, ergibt sich
.
Theorem: Es gilt
ist eindeutig bestimmt durch
- Für
existieren Konstanten
, so dass
.
Definition: Sei , d.h.
ist eindeutig bestimmt durch
.
Theorem: Es gilt
- Approximationseigenschaft:
- Inverse Schätzung: