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4.1 – Galerkin-Methode für das Einzelschichtpotential

4.1.1 Approximation mit trigonometrischen Polynomen

Wir wollen nun die Galerkin-Approximation auf \Gamma = \partial {B_1}\left( 0 \right) mit trigonometrischen Polynomen studieren. Für

u\left( t \right) = \sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{u_k}{e^{ikt}}}

mit Koeffizienten

{u_k}: = \frac{1}{{2\pi }}\int\limits_{-\pi }^\pi {u\left( \tau \right){e^{-ik\tau }}d\tau }

haben wir

\left\| u \right\|_s^2: = \sum\limits_{k = -\infty }^\infty {{{\left( {1+{k^2}} \right)}^s}{{\left| {{u_k}} \right|}^2}}.

Wenn wir nun {T_N}: = span\left\{ {{e^{ikx}}:\left| k \right| \leq N} \right\} mit \dim \left( {{T_N}} \right) = 2N+1 und

{\Pi _N}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{H^s} \to {T_N}} \\ {u \mapsto \left( {{\Pi _N}u} \right)\left( x \right): = \sum\limits_{\left| k \right| \leq N} {{u_k}{e^{ikx}}} } \end{array}} \right.

definieren, ergibt sich folgendes Theorem.

  1. {\left\| {u-{\Pi _N}u} \right\|_s}\xrightarrow{{N \to \infty }}0,\quad u \in {H^s}\left( \Gamma \right)
  2. Approximationseigenschaft: \forall r \leq s\exists {c_{r,s}}:{\left\| {u-{\Pi _N}u} \right\|_r} \leq {c_{r,s}}{N^{r-s}}{\left\| u \right\|_s}\forall u \in {H^s},N \in \mathbb{N}
  3. Inverse Schätzung: \forall r \leq s\exists {\tilde c_{r,s}}:{\left\| v \right\|_s} \leq {\tilde c_{r,s}}{N^{s-r}}{\left\| v \right\|_r}\forall v \in {T_N},N \in \mathbb{N}

Für \Gamma = \partial {B_R}\left( 0 \right) mit R > 0 ist die Abbildung V:{H^s}\left( \Gamma \right) \to {H^{s+1}}\left( \Gamma \right) stetig. Wenn V positiv definit ist, können wir das Lemma von Cea anwenden. Um Vu = f auf \partial {B_R}\left( 0 \right), \mathbb{R} \ne 1 zu lösen, benutzen wir die Galerkin-Methode mit trigonometrischen Polynomen, d.h. mit {T_N} als endlich-dimensionalem Unterraum von Testfunktionen. Es ergibt sich die Fehlerabschätzung

{\left\| {u-{u_N}} \right\|_{-\frac{1}{2}}} \leq {N^{-\left( {s+\frac{1}{2}} \right)}}{\left\| u \right\|_s}\quad \Rightarrow \quad \left\| {u-{u_N}} \right\| \leq c{N^{r-s}}{\left\| u \right\|_s}.

4.1.2 Approximation mit Splines

Sei ein Gitter {\Delta _N} auf \Gamma definiert durch

{x_j} = {e^{2\pi i\frac{j}{N}}} = x\left( {jh} \right) = :x\left( {{s_j}} \right),\quad h = \frac{1}{N}

und sei S_{{\Delta _N}}^d \equiv S_h^d: = \left\{ {\varphi \in {C^{d-1}}\left( \Gamma \right)} \right\} mit Polynomen {\left. \varphi \right|_{\left[ {{s_i},{s_{i+1}}} \right]}} in s mit Grad d \geq -1. Wir nehmen an, dass N ungerade ist. Für jedes Polynom brauchen wir d+1 Koeffizienten. Weil \varphi d-1 mal stetig differenzierbar ist in den Knoten {\Delta _N}, ergibt sich S_h^d = N.

Theorem: Es gilt

  1. v \in S_h^d\quad \Leftrightarrow \quad {v_k}{k^{d+1}} = {v_{k+N}}{\left( {k+N} \right)^{d+1}}\forall k \in \mathbb{Z}
  2. v \in S_{{\Delta _N}}^d ist eindeutig bestimmt durch \left\{ {{v_k}:\left\| k \right\| \leq M} \right\}
  3. Für s < d+\frac{1}{2} existieren Konstanten {c_1},{c_2}, so dass {c_1}{\left\| {{\Pi _M}v} \right\|_s} \leq {\left\| v \right\|_s} \leq {c_2}{\left\| {{\Pi _M}v} \right\|_s}\forall v \in S_{{\Delta _N}}^d.

Definition: Sei {P_N}: = {Q_N}{\Pi _M}, d.h. v = {P_N}u \in S_{{\Delta _N}}^d ist eindeutig bestimmt durch {v_r} = {u_r}\forall \left| r \right| \leq M.

Theorem: Es gilt

  1. Approximationseigenschaft: \forall r \leq s\exists {c_{r,s}}:{\left\| {u-{P_N}u} \right\|_r} \leq {c_{r,s}}{N^{r-s}}{\left\| u \right\|_s}\forall u \in {H^s}
  2. Inverse Schätzung: \forall r \leq s < d+1/2\:\exists {\tilde c_{r,s}}:{\left\| v \right\|_s} \leq {\tilde c_{r,s}}{N^{s-r}}{\left\| v \right\|_r}\forall r \in S_{{\Delta _N}}^d

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