Eine um S drehbar gelagerte Scheibe (Masse m, Massenträgheitsmoment Θ = 0,5 m a2 ) ist durch eine Feder mit der Federkonstante c und einen geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer mit der Dämpfungskonstante r wie skizziert in A gefesselt. Die Ausschlagserregung wirkt mit
auf den Fußpunkt B der Feder. Es sollen Schwingungen mit kleinen Auslenkungen angenommen werden.
Aufgaben:
- Man ermittle die Schwingungsdifferentialgleichung für φ(t)
- Wie groß ist die Eigenkreisfrequenz ωD der gedämpften bzw. ω1 der ungedämpften Schwingung?
- Wie lautet die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung?
- Für r = 0 bestimme man mit dem Ansatz φp = A cos ( Ω t ) eine partikuläre Lösung der Differentialgleichung.
Gegeben: a = 0,1 m, m = 20 kg, c = 4000 N/m, r = 200 Ns/m, Ω = 10 s-1, y0 = 0,01 m
Lösung
Als erstes schneiden wir die Scheibe frei:
Schwerpunktsatz: entfällt, da sich die Scheibe bei kleinen Auslenkungen nur dreht und der Schwerpunkt keine translative Bewegung ausführt
Drallsatz:
Für die beiden auftretenden Kräfte gilt:
Kinematische Beziehungen:
(Linearisierung wegen kleiner Auslenkung)
Einsetzen:
Umformen ergibt:
Das Massenträgheitsmoment ist laut Aufgabenstellung
Eingesetzt:
a )
Mit Konstanten lautet die Differentialgleichung:
b )
Koeffizientenvergleich ergibt:
Die Kreisfrequenz des gedämpften Systems:
c )
Homogene DGL:
Lösungsansatz und Ableitungen:
Eingesetzt und aufgelöst:
Wir wissen, dass das System schwach gedämpft ist, die Wurzel ist daher negativ. Wir schreiben:
mit der Kreisfrequenz des gedämpften Systems:
In den Ansatz eingesetzt:
In trigonometrischer Schreibweise:
Da das Problem nicht selbst komplex ist, sondern wir nur für die Berechnung den Umweg über die komplexen Zahlen gewählt haben, müssen wir das noch eine allgemeine reelle Lösung finden.
Dazu nehmen wir den Realteil (mit beliebiger Konstante) und addieren einen Imaginärteil (also entweder+oder -, wieder mit beliebiger Konstante und ohne das i):
d )
Gesucht ist eine partikuläre Lösung für das ungedämpfte angeregte System.
DGL:
In der Aufgabenstellung vorgeschlagener Ansatz:
mit der zweiten Ableitung
Einsetzen:
Ausklammern:
Im trivialen Fall ist die Anregungskraft (also der cosinus) konstant 0. Im nicht trivialen Fall ist die eckige Klammer gleich 0:
Wir setzen die Konstante in den Ansatz ein: