Bei der -Hermite-Interpolation werden neben den Funktionswerten
auch die Werte der ersten Ableitung
an den Stützstellen interpoliert. Es seien die Stützstellen
gegeben. Eine Inerpolante
im Intervall
mit den Eigenschaften
heißt C1-Hermite Interpolante. In jedem Teilintervall ist diese ein Polynom
der Form
mit noch zu bestimmenden Koeffizienten .
a )
Bestimmen Sie die Koeffizienten in Abhängigkeit von .
b )
Ordnet man in (2) die rechte Seite nach den Koeffizienten und normiert das Teilintervall auf
, so ergibt sich für
die Darstellung
mit .
Bestimmen und skizzieren Sie die Basisfunktionen
Lösung
a )
Abkürzungen:
Gesucht:
Bestimmungsgleichungen:
Dies ist ein lineares Gleichungssystem, das wir nun lösen wollen.
I,II:
III:
Es können also alle Koeffizienten einzeln bestimmt werden. Bei der Hermite-Interpolation hängen die Koeffizienten der verschiedenen Splines nicht zusammen.
b )
Wir formen das Ergebnis der ersten Teilaufgabe um, nachdem wir die oben bestimmten Koeffizienten eingesetzt haben:
Mit wird auf
normiert. Daraus folgen die Polynome: