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4.1 – Hornerschema

  1. Wandeln Sie die Dezimalzahl 168,625 nach dem Horner-Schema in eine Dualzahl um.
  2. Wandeln Sie die Dualzahl 10110101,001012 nach dem Horner-Schema in eine Dezimalzahl um.

Lösung

a)

168,625 in binär:

168:2=84, R:0
84:2=42, R:0
42:2=21, R:0
21:2=10, R:1
10:2=5, R:0
5:2=2, R:1
2:2=1, R:0
1:2=1, R:1

Wir lesen von unten nach oben die Reste ab und erhalten die Binärzahl: {168_{10}} = {10101000_2}

Nachkommastellen:

0,625*2=0,25+1
0,25*2=0,5+0
0,5*2=0,0+1

Hier lesen wir von oben nach unten ab und erhalten die Binärzahl: {0,625_{10}} = {0,101_2}

Insgesamt erhalten wir: {168,625_{10}} = {10101000,101_2}

b)

Nun wandeln wir eine Binärzahl in eine Dezimalzahl um

Wir trennen dazu wieder den ganzzahligen Teil von den Nachkommastellen.

{10110101,00101_2} = {10110101_2}+{0,00101_2}

Nun durchlaufen wir das folgende Horner-Schema:

\begin{array}{*{20}{c}}{} & {} & {} & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & {} &\vline & {{\text{Summe}}} \\ \hline{} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} &\vline & 0 \\{2 \cdot } & 0 & + & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & = &\vline & 1 \\{2 \cdot } & 1 & + & {} & 0 & {} & {} & {} & {} & {} & {} & = &\vline & 2 \\{2 \cdot } & 2 & + & {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & {} & = &\vline & 5 \\{2 \cdot } & 5 & + & {} & {} & {} & 1 & {} & {} & {} & {} & = &\vline & {11} \\{2 \cdot } & {11} & + & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & {} & {} & = &\vline & {22} \\{2 \cdot } & {22} & + & {} & {} & {} & {} & {} & 1 & {} & {} & = &\vline & {45} \\{2 \cdot } & {45} & + & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 0 & {} & = &\vline & {90} \\{2 \cdot } & {90} & + & {} & {} & {} & {} & {} & {} & {} & 1 & = &\vline & {181} \\ \end{array}

Für die Nachkommastellen gehen wir wie folgt vor:

\begin{array}{*{20}{c}}{0,} & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 &\vline & {} & {} & {} &\vline & {{\text{Summe}}} \\ \hline{} & {} & {} & {} & {} & 1 &\vline & + & 0 & { \div 2 = } &\vline & {0,5} \\{} & {} & {} & {} & 0 & {} &\vline & + & {0,5} & { \div 2 = } &\vline & {0,25} \\{} & {} & {} & 1 & {} & {} &\vline & + & {0,25} & { \div 2 = } &\vline & {0,625} \\{} & {} & 0 & {} & {} & {} &\vline & + & {0,625} & { \div 2 = } &\vline & {0,3125} \\{} & 0 & {} & {} & {} & {} &\vline & + & {0,3125} & { \div 2 = } &\vline & {0,15625} \\ \end{array}

Insgesamt erhalten wir also:

{10110101,00101_2} = {181,15625_{10}}

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