24 – hydrodynamisches Radialgleitlager – Mathematical Engineering

Es soll ein hydrodynamisches vollumschließendes Gleitlager einer Dampfturbine, welches im Dauerbetrieb bei einer Nenndrehzahl arbeitet, berechnet werden.

Gegeben

Lagerdaten:

Nenndurchmesser: $d = 200mm$

Breite: $b = 140mm$

Werkstoff: SnSb12Cu6Pb nach DIN ISO 4381

Oberflächengüte Welle: ${R_{zW}} = 2\mu m$

Oberflächengüte Lagerschale: ${R_{zL}} = 1\mu m$

Wärmeabgebende Oberfläche: $A \approx 0,8{m^2}$

Wärmeübergangszahl zwischen Lagergehäuse und Umgebung im Maschinenverband :

$\alpha = 15\frac{W}{{{m^2}K}}$

Höchstzulässige Lagertemperatur: ${\vartheta _{B,\lim }} = 100^\circ C$

Betriebsdaten:

Nenndrehzahl: $n = 2000{\min ^{-1}}$

Belastung bei Nenndrehzahl: $F = 120kN$

Umgebungstemperatur: ${\vartheta _U} = 25^\circ C$

Schmierstoffdaten:

Viskositätsgrad: ISO VG 68

Raumspezifische Wärmekapazität: $c \cdot \rho = 1,8 \cdot {10^6}\frac{J}{{{m^3}K}}$

Aufgaben

24.1 – Ermitteln Sie die Gleitgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

24.2 – Überprüfen Sie die spezifische Lagerbelastung

24.3 – Wählen Sie eine geeignete Passung aus und bestimmen Sie das vorhandene relative Lagerspiel.

24.4 – Überprüfen Sie, ob das Lager in Nennbetrieb stabil und verschleißfest läuft. Legen Sie hierbei zunächst eine angenommene Betriebstemperatur $\vartheta _B^{\left( 0 \right)} = 60^\circ C$ zugrunde.

25.5 – Überprüfen Sie, ob das Lager ohne Druckumlaufschmierung auskommt, also mit druckloser Ölumlaufschmierung, d.h. mit Wärmeabfuhr durch reine Konvektion.

25.6 – Es wird eine Druckschmierung mit externer Ölrückführung vorgesehen. Bestimmen Sie den erforderlichen Schmierstoffdurchsatz unter folgenden Randbedingungen:

Öleintrittstemperatur: ${\vartheta _E} = 50^\circ C$

Zuführüberdruck: ${p_k} = 0,5bar$

Öleintrittsbohrung in der Oberschale.

Lösung

24.1 – Gleitgeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit

Die Gleitgeschwindigkeit ist das Produkt aus Drehzahl (pro Sekunde) und Umfang:

$u = d\pi n = 0,2m \cdot \pi \cdot 2000 \cdot \frac{1}{{60s}} = 20,9\frac{m}{s}$

Die Winkelgeschwindigkeit ist das Produkt aus $2\pi$ und der Drehzahl (=Frequenz):

$\omega = 2\pi n = 2\pi \cdot \frac{{2000}}{{60s}} = 209,4\frac{1}{s}$

24.2 – spezifische Lagerbelastung

Für den tatsächlichen mittleren Lagerdruck bzw. die spezifische Lagerbelastung gilt:

$Druck = \frac{{Kraft}}{{Fl\ddot ache}}\quad \Rightarrow \quad {p_m} = \frac{F}{{b \cdot d}} = \frac{{120000N}}{{140mm \cdot 200mm}} = 4,3\frac{N}{{m{m^2}}}$

Die Fläche ist dabei die Projektion des Zylinders auf eine Ebene, also der Durchmesser multipliziert mit der Breite des Lagers.

Wir betrachten nun die Tabelle mit Erfahrungswerten für höchstzulässige spezifische Lagerbelastungen bei hydrodynamischen Gleitlagern:

spezifische-lagerbelastung-gleitlager-hydrodynamisch

Bei unserem Lager handelt es sich um eine Sn-Legierung, es ist also ${p_{zul}} = 5\frac{N}{{m{m^2}}}$ .

Wir sehen:

${p_m} \leq {p_{zul}}\quad \Rightarrow \quad$ in Ordnung!

24.3 – Wahl einer Passung

Wir brauchen auf jeden Fall eine Spielpassung, da sich die Welle im Lager drehen soll. Das relative Lagerspiel können wir im folgenden Diagramm ablesen:

relatives-lagerspiel-gleitgeschwindigkeit-diagramm

Für die Gleitgeschwindigkeit hatten wir $u = 20,9\frac{m}{s}$ ausgerechnet. Von dort aus gehen wir senkrecht nach oben, bis wir in die Mitte des schraffierten Bereichs kommen. Von dort aus gehen wir dann waagerecht nach links und lesen dort einen Wert von etwa ${\psi _{soll}} = 1,7$ Promille ab. Dies entspricht auch der im Diagramm angegebenen Formel:

${\psi _{soll}} = 0,8\sqrt[4]{u} = 0,8\sqrt[4]{{20,9}} = 1,71$

Später müssen wir aber nicht prüfen, ob der tatsächliche Wert oberhalb oder unterhalb dieses Sollwertes liegt, sondern ob er in einem Intervall um den Sollwert liegt. Wir lesen also den Wert an der Unter- und Oberkante des schraffierten Bereichs ab:

relatives-lagerspiel-gleitgeschwindigkeit-diagramm

${\psi _{soll}} \in \left[ {1.2,\:\:2.1} \right]$

Das absolute Lagerspiel berechnen wir wie folgt:

${S_{soll}} = {\psi _{soll}} \cdot d = \frac{{1,7}}{{1000}} \cdot 200mm = 0,34mm = 340\mu m$

Wir betrachten nun Tabelle 1 auf Seite 180 im INA-Taschenbuch. Wenn wir davon ausgehen, dass die Bohrung exakt gefertigt ist, brauchen wir für die Welle eine Abweichung von $es = -340\mu m$ . Dies ist bei unserem Wellendurchmesser $d = 200mm$ erfüllt bei Toleranzlage b. Um im Intervall für das gewünschte Lagerspiel zu bleiben, müssen wir Toleranzklasse 6 benutzen. Es folgt die Passung 200b6.

Wir betrachten die Tabell1 auf Seite 180 im INA-Buch.

Für das obere Abmaß der Welle gilt: $es = -340\mu m$ . Bei einem ISO-Toleranzgrad von 6 ist die Grundtoleranz einer Welle im Bereich $180mm$ bis $250mm$ gleich $29\mu m$ . Daraus folgt für das untere Abmaß der Welle: $ei = -340\mu m-29\mu m = -369\mu m$ .

Für die Bohrung wählen wir die Toleranzlage H und eine Toleranzklasse gröber als die der Welle, also 7: 200H7

Zusammengefasst:

$es = -340\mu m$

$ei = -369\mu m$

$EI = 0\mu m$

$ES = 46\mu m$

Das größte Spiel ist nun der Abstand zwischen der größtmöglichen Bohrung und der kleinstmöglichen Welle:

${S_{\max}} = ES-ei = 415\mu m$

Das kleinste Spiel ist der Abstand zwischen der kleinsten möglichen Bohrung und der größten möglichen Welle:

${S_{\min}} = EI-es = 340\mu m$

Mittleres Spiel:

$S = \frac{S_{\max} +{S_{\min}}}{2} = 377,5\mu m$

Vorhandenes relatives Lagerspiel:

$\psi = \frac{S}{d} = 1,9$ Promille

Da wir einen Rahmen von 1,2 bis 2,1 haben, ist dieser Wert in Ordnung.

24.4 – Überprüfung auf Stabilität und Verschleißfestigkeit

An dieser Stelle müssen wir die Tragfähigkeit des Schmierfilmes überprüfen. Basis dafür ist die Reynoldssche Differentialgleichung. Diese ist allerdings nicht geschlossen analytisch lösbar, wir greifen auf eine Annäherung durch den Newtonschen Schubspannungssatz zurück.

Es gilt:

$\tau = \frac{{{F_t}}}{A} = \frac{{{F_t}}}{{bd\pi }} = \frac{{\eta \omega }}{\psi }$

Dabei kommt die Kraft wie folgt zustande:

${F_t} = {F_R} = \tau d\pi b = \eta \frac{\omega }{\psi }d\pi b$

Die Reibungszahl für Flüssigkeitsreibung ist:

$\mu = \frac{{{F_R}}}{F} = \frac{{{F_t}}}{{pdb}} = \frac{{\eta \omega d\pi b}}{{pdb\psi }} = \frac{{\eta \omega \pi }}{{p\psi }}$

Daraus wird die Reibungskennzahl abgeleitet:

$\frac{\mu }{\psi } = \frac{{\eta \omega \pi }}{{p{\psi ^2}}} = \frac{\pi }{{{S_0}}}$

Dabei ist ${S_0}$ die Sommerfeldzahl. Die Sommerfeldzahl sagt etwas über die Stabilität aus. Das System ist genau dann stabil, wenn die Sommerfeldzahl im Bereich $0,3 < {S_0} < 10$ liegt.

Es gilt:

${S_0} = \frac{{p{\psi ^2}}}{{{\eta _{eff}}{\omega _{eff}}}}$

Dabei ist ${\eta _{eff}}$ die dynamische Viskosität. Die anderen Größen sind bereits bekannt: Laberbelastung $p$ , vorhandenes Lagerspiel $\psi$ , oben berechnete Drehzahl ${\omega _{eff}} = \omega$ .

Für die dynamische Viskosität betrachten wir das folgende Diagramm:

dynamische-viskositat-iso-temperatur

Die Temperatur ist die in der Aufgabenstellung gegebene Betriebstemperatur von 60°C. Von dort aus gehen wir hoch zu der Viskosität von Öl ISO VG 68 (aus Aufgabenstellung). Von dort aus nach links. Wir erhalten:

${\eta _{eff}} = 24mPa \cdot s = 24 \cdot {10^{-9}}\frac{{Ns}}{{m{m^2}}}$

Damit können wir die Sommerfeldzahl berechnen:

${S_0} = \frac{{p{\psi ^2}}}{{{\eta _{eff}}{\omega _{eff}}}} = \frac{{4,3\frac{N}{{m{m^2}}}{{\left( {1,9 \cdot {{10}^{-3}}} \right)}^2}}}{{24 \cdot {{10}^{-9}}\frac{{Ns}}{{m{m^2}}} \cdot 209,4\frac{1}{s}}} = 3,1$

Die Sommerfeldzahl ist also im geforderten Intervall. Nach dieser Berechnung können wir nun Aussagen zur minimalen Schmierspaltdicke ${h_0}$ und der relativen Exzentrizität $\varepsilon$ entwickeln.

Die relative Exzentrizität gibt an, wie weit die Welle in der Bohrung des Gleitlagers von der Mittelachse verschoben ist. Wir brauchen folgendes Diagramm:

relative-exzentrizitat-sommerfeldzahl

Um die richtige Kurve zu wählen, brauchen wir das Verhältnis von Durchmesser zu Breite des Lagers. Dies ist wichtig für die Kraftverteilung:

verhaltnis-breite-dicke

Mit $\frac{b}{d} = \frac{{140}}{{200}} = 0,7$ und ${S_0} = 3,1$ erhalten wir einen Wert von $\varepsilon = 0,85$ .

Daraus können wir die minimale Schmierspaltdicke bestimmen:

schmierspaltdicke-exzentrizitat

Die relative Schmierspaltdicke ist $\left( {1-\varepsilon } \right)$ . Diese müssen wir mit dem absoluten Lagerspiel multiplizieren, um den absoluten Wert zu erhalten. Da wir nur das relative Lagerspiel $\psi$ haben, müssen wir dieses noch mit dem Radius $r$ multiplizieren. Es folgt:

${h_0} = r\psi \left( {1-\varepsilon } \right)$

Einsetzen:

${h_0} = r\psi \left( {1-\varepsilon } \right) = 100mm \cdot 1,9 \cdot {10^{-3}}\left( {1-0,85} \right) = 28,5\mu m$

Wir betrachten nun eine Tabelle mit Erfahrungswerten für die zulässige kleinste Spalthöhe nach DIN 31652:

schmierspalthohe-erfahrungswerte-geschwindigkeit

Daraus folgt mit $u = 20,9\frac{m}{s}$ eine kleinste zulässige Schmierspalthöhe von ${h_{0,zul}} = 11\mu m$ .

Es ist ${h_0} > {h_{0,zul}}\quad \Rightarrow \quad$ in Ordnung!

24.5 – Prüfung der Wärmeabfuhr

Bei statisch belastetem Gleitlager steigt die Reibleistung mit dem Quadrat der Winkelgeschwindigkeiten und der dritten Potenz der Lagerabmessungen. Die Reibleistung wird in Wärme umgesetzt und durch Strahlung und Leitung an die Umgebung abgegeben oder mit dem Öl konvektiv abgeführt.

Beim Betrieb entsteht die Wärme:

${P_R} = \mu Fu$

Dabei ist $\mu$ ein Reibungsfaktor, $F$ die auf das Lager wirkende Kraft und $u$ die Reibungsgeschwindigkeit.

Den Reibungsfaktor können wir nicht direkt bestimmen. Wir können aber den Reibungsfaktor $\frac{\mu }{\psi }$ in Abhängigkeit von der Sommerfeldzahl aus dem folgenden Diagramm ablesen:

reibungsfaktor-sommerfeldzahl-diagramm

Mit $\frac{b}{d} = \frac{{140}}{{200}} = 0,7$ und ${S_0} = 3,1$ erhalten wir einen Reibungsfaktor $\frac{\mu }{\psi } = 2$ .

$\mu = \psi \left( {\frac{\mu }{\psi }} \right) = 3,8 \cdot {10^{-3}}$

${P_R} = 3,8 \cdot {10^{-3}} \cdot 120000N \cdot 20,9\frac{m}{s} = 9530W$

Wir wollen nun testen, ob die produzierte Wärme ausschließlich durch die Konvektion im Schmieröl abgeführt werden kann.

Der durch Konvektion abgeführte Wärmestrom ${P_a}$ lässt sich wie folgt berechnen:

${P_a} = \alpha {A_G}\left( {{\vartheta _m}-{\vartheta _u}} \right)$

Dabei ist $\alpha$ die effektive Wärmeübergangszahl zwischen Lagergehäuse und umgebenden Fluid bei freier Konvektion. ${A_G}$ ist die Wärme abgebende äußere Oberfläche, ${\vartheta _m}$ die mittlere Lagertemperatur und ${\vartheta _u}$ die Temperatur des umgebenden Fluids. Diese Werte sind alle in der Aufgabenstellung gegeben. Es folgt:

${P_a} = \alpha {A_G}\left( {{\vartheta _m}-{\vartheta _u}} \right) = 15\frac{W}{{{m^2}K}} \cdot 0,8{m^2}\left( {100^\circ C-25^\circ C} \right) = 900W < 9539W$

Die Konvektion reicht also nicht aus, um das Lager auf die angegebene Temperatur zu kühlen.

Wir wollen noch berechnen, wie heiß das Lager werden würde, wenn wir es trotzdem ohne Druckumlaufschmierung betreiben würden:

${P_a} = \alpha {A_G}\left( {{\vartheta _m}-{\vartheta _u}} \right)$

${\vartheta _m} = \frac{{{P_R}}}{{\alpha {A_G}}}+{\vartheta _u} = 819^\circ C > {\vartheta _{B,\lim }} = 100^\circ C\quad \Rightarrow \quad$ nicht in Ordnung!

24.6 – Schmierstoffdurchsatz

Wir haben nun eine Druckumlaufschmierung. Der Wärmestrom, der dadurch vom Schmierstoff abgeführt wird, lässt sich berechnen mit der Formel:

${P_c} = \dot V\rho c\left( {{\vartheta _A}-{\vartheta _E}} \right)$

Dabei ist $\dot V$ der gesamte Schmierstoffdurchsatz, den wir berechnen sollen. $\rho c$ ist ein Ausdruck für die Raumspezifische Wärme (in der Aufgabenstellung gegeben), ${\vartheta _A}$ ist die Schmierstoffaustrittstemperatur, ${\vartheta _E}$ die Schmierstoffeintrittstemperatur.

Der gesamte Schmierstoffdurchsatz setzt sich aus dem Durchsatz infolge von Wellenrotation ${\dot V_D}$ und dem Durchsatz infolge Zufuhrüberdruck ${\dot V_P}$ zusammen:

$\dot V = {\dot V_D}+{\dot V_P}$

Dabei gilt für den Durchsatz infolge von Wellenrotation:

${\dot V_D} = {\dot V_{D,rel}}{d^3}\psi \omega$

Dabei ist ${\dot V_{D,rel}}$ der relative Schmierstoffdurchsatz.

Diagramm für den relativen Schmierstoffdurchsatz:

relativer-schmierstoffdurchsatz

Wir haben eine relative Exzentrizität von $\varepsilon = 0,85$ . Mit $\frac{b}{d} = 0,7$ erhalten wir ${\dot V_{D,rel}} = 0,13$ .

Einsetzen:

${\dot V_D} = {\dot V_{D,res}}{d^3}\psi \omega = 0,13{\left( {0,2m} \right)^3} \cdot 1,9 \cdot {10^{-3}} \cdot 209,4\frac{1}{s} = 4,1 \cdot {10^{-4}}{m^3}$

Durchsatz infolge Zufuhrüberdruck

${\dot V_p} = \frac{{{{\dot V}_{p,rel}}{d^3}{\psi ^3}p}}{\eta }$

Für den Schmierstoffdurchsatz ${\dot V_{P,rel}}$ infolge Zuführüberdruck in Abhängigkeit von der relativen Exzentrizität gilt:

relativer-schmierstoffdurchsatz-zufuhruberdruck

Wir erhalten einen Wert von 0,35.

Einsetzen:

${\dot V_p} = \frac{{{{\dot V}_{p,rel}}{d^3}{\psi ^3}p}}{\eta } = \frac{{0,35{{\left( {0,2m} \right)}^3}{{\left( {1,9 \cdot {{10}^{-3}}} \right)}^3} \cdot 0,5 \cdot {{10}^5}Pa}}{{24 \cdot {{10}^{-3}}Pa \cdot s}} = 0,4 \cdot {10^{-4}}\frac{{{m^3}}}{s}$

Damit können wir den gesamten Schmierstoffdurchsatz ausrechnen:

$\dot V = {\dot V_D}+{\dot V_P} = 4,5 \cdot {10^{-4}}\frac{{{m^3}}}{s}$

Wir kontrollieren nun, ob angenommene und tatsächliche Betriebstemperatur übereinstimmen.

${P_C} = \dot V\rho c\left( {{\vartheta _A}-{\vartheta _E}} \right)$

Wir können davon ausgehen, dass die gesamte Wärme durch das Schmiermittel abgeführt wird. Die Öleintrittstemperatur ist gegeben, daher können wir die Ölaustrittstemperatur berechnen:

${\vartheta _A} = {\vartheta _E}+\frac{{{P_R}}}{{\dot V\rho c}}$

Dabei ist $\rho c$ die raumspezifische Wärmekapazität. In der Aufgabenstellung ist gegeben: $c\rho = 1,8 \cdot {10^6}\frac{J}{{{m^3}K}}$

Einsetzen:

${\vartheta _A} = 50^\circ C+\frac{{9530W}}{{4,5 \cdot {{10}^{-4}}\frac{{{m^3}}}{s} \cdot 1,8 \cdot {{10}^6}\frac{J}{{{m^3}K}}}} = 61,8^\circ C$

Wir berechnen als Effektivwert den Mittelwert:

${\vartheta _{B,eff}} = \frac{{{\vartheta _E}+{\vartheta _A}}}{2} = 55,9^\circ C\quad \Rightarrow \quad$ in Ordnung!

Übersicht der Berechnungsschritte

verfahren-gleitlager-berechnung