Beispiel: Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung

Lösen Sie die Differentialgleichung

{y^{\prime \prime }}-2{y^\prime }+10y = {x^2}{e^{2x}}

Lösung

Da es sich um eine inhomogene Differentialgleichung handelt, müssen wir zuerst die Lösung der homogenen Gleichung

{y^{\prime \prime }}-2{y^\prime }+10y = 0

finden. Anschließend suchen wir eine partikuläre Lösung, die die inhomogene DGL erfüllt. Die allgemeine Lösung ist die Summe aus homogener und partikulärer Lösung.

homogene Lösung

{\lambda ^2}-2\lambda +10 = 0

Lösungsansatz:

y_h\left( x \right) = c \cdot {e^{\lambda x}}

Ableiten und Einsetzen führt auf die charakteristische Gleichung:

y_h^\prime = c\lambda \cdot {e^{\lambda x}}

y_h^{\prime \prime } = c{\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda x}}

0 = {y^{\prime \prime }}-2{y^\prime }+10y = c{\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda x}}-2 \cdot c\lambda \cdot {e^{\lambda x}}+10 \cdot c \cdot {e^{\lambda x}}

{\lambda ^2}-2 \cdot \lambda +10 = 0

Wir lösen die charakteristische Gleichung durch quadratisches Ergänzen:

{\left( {\lambda -1} \right)^2} = -9

{\lambda _{1,2}} = 1 \pm 3i

Dies setzen wir in den Ansatz ein und transformieren schließlich mit der Eulerformel in den reellen Bereich:

{y_h} = {c_1}{e^{\left(1 \pm 3i\right)x}} = {e^x}\left( {{c_1}\cos \left( {3x} \right)+{c_2}\sin \left( {3x} \right)} \right)

Dass diese Funktion die homogene Gleichung erfüllt, sehen wir, wenn wir die Probe durchführen (muss nicht unbedingt gemacht werden):

{y_h} = {e^x}\left( {{c_1}\cos \left( {3x} \right)+{c_2}\sin \left( {3x} \right)} \right)

y_h^\prime = {e^x}\left( {{c_1}\cos \left( {3x} \right)+{c_2}\sin \left( {3x} \right)} \right)+{e^x}\left( {-3{c_1}\sin \left( {3x} \right)+3{c_2}\cos \left( {3x} \right)} \right)

y_h^\prime = {e^x}\left( {{c_1}\left( {\cos \left( {3x} \right)-3\sin \left( {3x} \right)} \right)+{c_2}\left( {\sin \left( {3x} \right)+3\cos \left( {3x} \right)} \right)} \right)

y_h^{\prime \prime } = {e^x}\left( {{c_1}\left( {\cos \left( {3x} \right)-3\sin \left( {3x} \right)} \right)+{c_2}\left( {\sin \left( {3x} \right)+3\cos \left( {3x} \right)} \right)} \right)

+{e^x}\left( {{c_1}\left( {-3\sin \left( {3x} \right)-9\cos \left( {3x} \right)} \right)+{c_2}\left( {3\cos \left( {3x} \right)-9\sin \left( {3x} \right)} \right)} \right)

y_h^{\prime \prime } = {e^x}\left( {{c_1}\left( {-6\sin \left( {3x} \right)-8\cos \left( {3x} \right)} \right)+{c_2}\left( {6\cos \left( {3x} \right)-8\sin \left( {3x} \right)} \right)} \right)

einsetzen und vereinfachen:

y_h^{\prime \prime }-2y_h^\prime +10y = {e^x}\left( {{c_1}\left( {-6\sin \left( {3x} \right)-8\cos \left( {3x} \right)} \right)+{c_2}\left( {6\cos \left( {3x} \right)-8\sin \left( {3x} \right)} \right)} \right)

-2 \cdot {e^x}\left( {{c_1}\left( {\cos \left( {3x} \right)-3\sin \left( {3x} \right)} \right)+{c_2}\left( {\sin \left( {3x} \right)+3\cos \left( {3x} \right)} \right)} \right)

+10 \cdot {e^x}\left( {{c_1}\cos \left( {3x} \right)+{c_2}\sin \left( {3x} \right)} \right)

= {e^x}{c_1}\left( {-6\sin \left( {3x} \right)+6\sin \left( {3x} \right)-8\cos \left( {3x} \right)+10\cos \left( {3x} \right)-2\cos \left( {3x} \right)} \right)

+{e^x}{c_2}\left( {6\cos \left( {3x} \right)-6\cos \left( {3x} \right)-8\sin \left( {3x} \right)+10\sin \left( {3x} \right)-2\sin \left( {3x} \right)} \right)

= 0

partikuläre Lösung

{y^{\prime \prime }}-2{y^\prime }+10y = {x^2}{e^{2x}}

Als Lösungsansatz verwenden wir einen Ansatz vom “Typ der rechten Seite”. Das bedeutet, wir verwenden als Ansatzfunktion eine Funktion der Klasse der Funktion, die auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht. In diesem Fall ist das das Produkt aus einer Exponentialfunktion und eines Polynoms zweiten Grades:

{y_p}\left( x \right) = {P_2}\left( x \right){e^{2x}} = {e^{2x}}\left( {{a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}} \right)

Wir bilden die ersten beiden Ableitungen:

y_p^\prime = 2 \cdot {e^{2x}}\left( {{a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}} \right)+{e^{2x}}\left( {{a_1}+2{a_2}x} \right)

y_p^\prime = {e^{2x}}\left( {2{a_0}+{a_1}+\left( {2{a_1}+2{a_2}} \right)x+2{a_2}{x^2}} \right)

y_p^{\prime \prime } = 2 \cdot {e^{2x}}\left( {2{a_0}+{a_1}+\left( {2{a_1}+2{a_2}} \right)x+2{a_2}{x^2}} \right)+{e^{2x}}\left( {2{a_1}+2{a_2}+4{a_2}x} \right)

y_p^{\prime \prime } = {e^{2x}}\left( {4{a_0}+4{a_1}+2{a_2}+\left( {4{a_1}+8{a_2}} \right)x+4{a_2}{x^2}} \right)

Einsetzen in die inhomogene DGL liefert:

{e^{2x}}\left( {4{a_0}+4{a_1}+2{a_2}+\left( {4{a_1}+8{a_2}} \right)x+4{a_2}{x^2}} \right)

-2{e^{2x}}\left( {2{a_0}+{a_1}+\left( {2{a_1}+2{a_2}} \right)x+2{a_2}{x^2}} \right)

+10{e^{2x}}\left( {{a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}} \right) = {x^2}{e^{2x}}

vereinfachen:

{e^{2x}}\left( {10{a_0}+2{a_1}+2{a_2}+\left( {10{a_1}+4{a_2}} \right)x+10{a_2}{x^2}} \right) = {x^2}{e^{2x}}

Da die Exponentialfunktion immer positiv ist, dürfen wir sie kürzen:

10{a_0}+2{a_1}+2{a_2}+\left( {10{a_1}+4{a_2}} \right)x+10{a_2}{x^2} = {x^2}

Wir führen nun einen Koeffizientenvergleich durch (Vergleich der Vorfaktoren vor x^0,\;,x^1,\;,x^2 und erhalten dadurch die Werte für die Koeffizienten:

10{a_2} = 1\quad \Rightarrow \quad {a_2} = \frac{1}{{10}}

10{a_1}+4{a_2} = 0\quad \Rightarrow \quad 10{a_1} = -\frac{4}{{10}}\quad \Rightarrow \quad {a_1} = -\frac{1}{{25}}

10{a_0}+2{a_1}+2{a_2} = 0\quad \Rightarrow \quad 10{a_0}-\frac{2}{{25}}+\frac{2}{{10}} = 0\quad \Rightarrow \quad {a_0} = -\frac{3}{{250}}

Einsetzen in den Lösungsansatz liefert die partikuläre Lösung:

{y_p}\left( x \right) = {e^{2x}}\left( {-\frac{3}{{250}}-\frac{1}{{25}}x+\frac{1}{{10}}{x^2}} \right)

Damit ist die allgemeine Lösung:

y = {y_h}+{y_p} = {e^x}\left( {{c_1}\cos \left( {3x} \right)+{c_2}\sin \left( {3x} \right)} \right)+{e^{2x}}\left( {-\frac{3}{{250}}-\frac{1}{{25}}x+\frac{1}{{10}}{x^2}} \right)

Eine mit Maxima durchgeführte Probe bestätigt das Ergebnis.

This Post Has 6 Comments

  1. Hab einen kleinen Fehler gefunden: In Exponent der e-Funktion (homogene Lösung, kurz vor Anwendung der Euler-Formel) fehlt ein x!

  2. Oh stimmt. Danke für den Hinweis, habs korrigiert.

  3. Ist es möglich den Maxima code beizufügen , würde extremst helfen

  4. Ich weiß nur nicht wie ich die Funktion angebe …..
    z.B ”y+6’y+y = 0

    habs probiert mit g1: ‘diff(y,x,2) + ‘diff(6*y,x,1) +y =0;
    das problem , wenn ich dann mit dem Befehl ode2 die Gleichung berechnen möchte bekomme ich eine Fehlermeldung
    ode2(g1, y ,x);> “false”

    woran könnte des liegen ?

  5. Habs jetzt doch geschafft!
    dg1: ‘diff(y,x,2) + ‘diff(y^1,x,1)*4+ 29*y=0;

    nun zur meiner letzter frage gibt es einen weg wie ich die Koeff. berechen
    also hab weiters 2 Anfangsbedingungen gegeben: y(0) = 1, ‘y(0)= -2
    ?

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