Analysis II

Auf der offenen Einheitskreisscheibe $ B_1 \left( {0,0} \right) \in \mathbb{R}^2 $ sei die Funktion $ F:B_1 \left( {0,0} \right) \to \mathbb{R} $ durch $ \left( {x,y} \right) \mapsto \sqrt…

Die Kreisscheibe $ \overline {B_1 \left( {0,0} \right)} : = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x^2 +y^2 \leq 1} \right\} $ ist abgeschlossen und beschränkt. Also nimmt die Funktion…

Entwickeln Sie die Funktion $ f:\left( {0,\infty } \right) \to \mathbb{R},\quad \quad \quad x \mapsto \frac{1} {x} $ in ihrer Taylorreihe im Entwicklungspunkt 2 und bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser…

Berechnen Sie zu der Funktion $ \tan :\left( {-\frac{\pi } {2},\frac{\pi } {2}} \right) \to \mathbb{R} $ das Taylorpolynom dritter Ordnung im Entwicklungspunkt 0. Skizzieren Sie außerdem die Graphen beider…

I. Sei (bn)n eine konvergente Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie: $ \lim \limits_{n \to \infty } \sup \left\{ {b_n ,b_{n+1} ,b_{n+2} ,\ldots} \right\} = \lim \limits_{n \to \infty } b_n…

Die geometrische Reihe $ \sum\nolimits_n {x^n } $ konvergiert auf ]-1,1[ bekanntlich punktweise gegen 1/(1-x). Zeigen Sie, dass diese Konvergenz nicht gleichmäßig ist. Lösung Punktweise Konvergenz: Für festes $ x_0…

Die Gammafunktion $ \Gamma \left( x \right):\left\{ {x \in \mathbb{R}|x > 0} \right\} \to \mathbb{R} $ wird durch ein uneigentliches Integral definiert: $ \Gamma \left( x \right): = \int_0^\infty {t^{x-1}…

Ist die Funktion f: [0, 1] → R, gegeben durch $ f\left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 1\quad {\text{falls}}\quad 2^{-\left( {n+1} \right)} \leq x \leq 2^{-n} \quad {\text{und}}\quad n{\text{ gerade}}…

Dies ist eine Verallgemeinerte Version der Aufgabe 1. Da in Aufgabe 1 schon die Sachverhalte erklärt worden sind, sollte diese zuerst verstanden sein, bevor Aufgabe 2 angefangen wird. Aufgabe: Seien…

Eine Funktion $ f:\left[ {a,b} \right] \to \mathbb{R} $ ist genau dann integrierbar, wenn es zu jedem ε > 0 Treppenfunktionen φ, ψ ∈ T[a, b] gibt mit φ ≤…