Analysis II

Untersuchen Sie die Funktion $ f:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}, $ $ \left( {x,y,z} \right) \mapsto e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y} \right) $ auf lokale Extrema. Lösung Aufstellen des Gradienten durch partielles…

Gegeben sei die Funktion $ f:D \to \mathbb{R}\quad mit\quad D: = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x \cdot y \ne 0} \right\}, $ $ f\left( {x,y} \right): = \frac{1}…

Das sogenannte Hauptminorenkriterium von Hurwitz und Sylvester ermöglicht es, zu überprüfen, ob eine symmetrische Matrix positiv definit ist. Es sei $ A: = \left( {a_{ij} } \right)_{\begin{array}{*{20}{c}} 1 \leq i…

Es seien $ A: = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b \\ b & c \\ \end{array} } \right)\quad \in \mathbb{R}^{2 \times 2} $ eine symmetrische, reelle 2 x 2 Matrix…

Wir wollen folgende Funktion intensiv untersuchen: $ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ $ f\left( {x,y} \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x \cdot y \cdot \frac{{x^2 -y^2 }} {{x^2 +y^2 }} &…

Betrachten Sie die Funktion $ f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2 $ $ f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{x^2 y}} {{x^4 +y^2 }} & \forall \left( {x,y} \right) \neq \left( {0,0} \right)…

Berechnen Sie die folgenden bestimmten oder unbestimmten Integrale: $ \int_{}^{} {1 \cdot \ln \left( x \right)} \:dx $ $ \int_1^2 {x \cdot \ln \left( {x^2 } \right)} \:dx $ $…

Betrachten Sie die Funktion $ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ mit $ f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{x \cdot y}} {{x^2 +y^2 }} & {\text{falls }}\left( {x,y} \right) \ne \left(…

Zeigen Sie, dass für eine Teilmenge A des Rn gilt: $ {\text{A ist abgeschlossen}}\quad \Leftrightarrow \quad \mathbb{R}^n \backslash {\text{A ist offen}} $ Beweisen oder widerlegen Sie: Für jede (eventuell unendliche)…

Die drei Abbildungen $ \left\| {\: \cdot \:} \right\|_1 \quad \quad \left\| {\: \cdot \:} \right\|_2 \quad \quad \left\| {\: \cdot \:} \right\|_\infty :\mathbb{R}^n \to \mathbb{R} $ seien definiert durch…