Definition Linearer Raum:
Ein linearer Raum ist eine kommutative (Abelsche) Gruppe mit dem Aufbau:
Für die skalare Multiplikation muss gelten:
mit den Axiomen
Beispiel 1
Sei
die Menge der auf
beschränkten, komplexwertigen Funktionen. Für die Addition und skalare Multilikation der Funktionen gelte:
![Rendered by QuickLaTeX.com B\left[ {0,1} \right]](https://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-121b468bcf7c241bfea4fa32261be0ab_l3.png)
![Rendered by QuickLaTeX.com \left[ {0,1} \right] = \left\{ {t \in \mathbb{R}:0 \leq t \leq 1} \right\}](https://me-lrt.de/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e5b34b762a1acca639d233c622a734d2_l3.png)
Beispiel 2
Wir betrachten
, die Menge der komplexen Zahlenfolgen. Es ist also

Für die Addition und skalare Multiplikation der Folgen gelte:
Zu zeigen ist nun:
Dazu verwenden wir:
Nun benutzen wir die Dreiecksungleichung und setzen anschließend ein:
Zusammengefasst:
Wir verallgemeinern auf die aufsummierten Folgen:
Da beide Summanden in der Klammer kleiner als unendlich sind, ist auch das Gesamtergebnis kleiner als unendlich.