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01 – Lineare Räume

Definition Linearer Raum:
Ein linearer Raum ist eine kommutative (Abelsche) Gruppe mit dem Aufbau:

\left( {E,+} \right)

Für die skalare Multiplikation muss gelten:

\cdot :S \times E \to E

mit den Axiomen

\left( {L1} \right)\quad 1 \cdot x = x

\left( {L2} \right)\quad \beta \cdot \left( {\alpha \cdot x} \right) = \left( {\beta \cdot \alpha } \right) \cdot x

\left( {L3} \right)\quad \alpha \cdot \left( {x+y} \right) = \alpha \cdot x+\alpha \cdot y

\left( {L4} \right)\quad \left( {\alpha +\beta } \right) \cdot x = \alpha \cdot x+\beta \cdot x

Beispiel 1

Sei B\left[ {0,1} \right] die Menge der auf \left[ {0,1} \right] = \left\{ {t \in \mathbb{R}:0 \leq t \leq 1} \right\} beschränkten, komplexwertigen Funktionen. Für die Addition und skalare Multilikation der Funktionen gelte:

\left( {f+g} \right)\left( t \right): = f\left( t \right)+g\left( t \right)

\left( {\alpha f} \right)\left( t \right): = \alpha f\left( t \right)

Beispiel 2

Wir betrachten {l_2}, die Menge der komplexen Zahlenfolgen. Es ist also

z = {\left( {{\zeta _\nu }} \right)_{\nu \in \mathbb{N}}},\quad {\zeta _\nu } \in \mathbb{C},\quad \sum\limits_{\nu \in \mathbb{N}} {{{\left| {{\zeta _\nu }} \right|}^2}} < {\kern 1pt} \infty

Für die Addition und skalare Multiplikation der Folgen gelte:

y = \left( {{\eta _\nu }} \right),\quad z = \left( {{\zeta _\nu }} \right),\quad \quad {\left( {y+z} \right)_\nu }: = {\eta _\nu }+{\zeta _\nu },\quad \nu \in \mathbb{N}

{\left( {\alpha z} \right)_\nu }: = \alpha {\zeta _\nu },\quad \nu \in \mathbb{N}

Zu zeigen ist nun:

\left( {y+z} \right) \in {l_2}\quad \Leftrightarrow \quad y,z \in {l_2}

Dazu verwenden wir:

0 \leq {\left( {\left| \zeta \right|-\left| \eta \right|} \right)^2} = {\left| \zeta \right|^2}-2\left| \zeta \right|\left| \eta \right|+{\left| \eta \right|^2}\quad \Leftrightarrow \quad 2\left| \zeta \right|\left| \eta \right| \leq {\left| \zeta \right|^2}+{\left| \eta \right|^2}

Nun benutzen wir die Dreiecksungleichung und setzen anschließend ein:

{\left| {\eta +\zeta } \right|^2} \leq {\left( {\left| \eta \right|+\left| \zeta \right|} \right)^2} = {\left| \eta \right|^2}+2\left| \eta \right|\left| \zeta \right|+{\left| \zeta \right|^2} = {\left| \eta \right|^2}+{\left| \zeta \right|^2}+2\left| \eta \right|\left| \zeta \right|

\leq 2\left( {{{\left| \zeta \right|}^2}+{{\left| \eta \right|}^2}} \right)

Zusammengefasst:

{\left| {\eta +\zeta } \right|^2} \leq 2\left( {{{\left| \zeta \right|}^2}+{{\left| \eta \right|}^2}} \right)

Wir verallgemeinern auf die aufsummierten Folgen:

0 \leq \sum\limits_{\nu \in \mathbb{N}} {{{\left| {{\eta _\nu }+{\zeta _\nu }} \right|}^2}} \leq 2\left( {\underbrace {\sum\limits_{\nu \in \mathbb{N}} {{{\left| {{\zeta _\nu }} \right|}^2}} }_{ < +\infty }+\underbrace {\sum\limits_{\nu \in \mathbb{N}} {{{\left| {{\eta _\nu }} \right|}^2}} }_{ < +\infty }} \right)

Da beide Summanden in der Klammer kleiner als unendlich sind, ist auch das Gesamtergebnis kleiner als unendlich.

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