Beispiel 1: Zwei Halbkreise
Geometrische Zusammenhänge:
Gesucht ist eine Bedingung an den Schwerpunktabstand , so dass das System stabil ist.
Kinematik:
Wir brauchen außerdem einen Zusammenhang zwischen den beiden Winkeln. Hierfür benutzen wir die Tatsache, dass der kleine Halbkreis auf dem großen abrollt. Die abgerollten Strecken auf den Umfängen der Halbkreise sind daher gleich:
Für die potentielle Energie des kleinen Halbkreises gilt:
Um ein Gleichgewicht zu finden, müssen wir die Ableitung dieser Energie gleich 0 setzen:
Um nun noch zu prüfen, ob ein stabiles oder instabiles Gleichgewicht vorliegt, müssen wir prüfen, ob die zweite Ableitung positiv oder negativ ist:
Das System ist bei stabil, wenn
ist. Es muss also gelten:
Ansonsten liegt ein labiles Gleichgewicht vor.
Beispiel 2: Garagentor
Gesucht sind die Gleichgewichtslagen des Garagentors, Art des Gleichgewichts.
Gegeben:
Bei ist das Tor geschlossen, die Feder ist maximal gespannt. Bei
ist das Tor offen, die Feder ist entspannt.
Potential der Feder (Federenergie):
Ausgangslänge der Feder bei
:
Momentane Länge der Feder nach dem Kosinussatz:
Einsetzen:
Mit und
erhalten wir:
Daraus folgt für die Federenergie:
Nun kommen wir zum Potential der Gewichtskraft auf das Garagentor. Wir definieren dieses Potential als 0, wenn das Tor geschlossen ist:
In allen anderen Fällen gilt:
Geometriezusammenhang:
Die Gesamtenergie setzt sich aus den beiden Anteilen der Feder und des Tors zusammen:
Dies ist eine Funktion des Winkels . Um das Gleichgewicht zu finden, setzen wir die Ableitung gleich 0:
Für die andere Bedingung setzen wir das gegebene Verhältnis ein:
Für das Stabilitätsverhalten müssen wir die drei Werte für in die zweite Ableitung einsetzen:
Zusatzfrage: Wie groß muss sein, damit für
ein indifferentes GGW herrscht?
Ansatz:
Hörmann Torsionsfeder
1 Jul 2014Danke für die Formeln!
Wir arbeiten täglich mit Torfedern von Hörmann und müssen diese auch verbauen.
Bisher konnten wir bloß grob überschlagen. Nun können wir genau rechnen, das ist echt praktisch.
Dankeschön 😉
LG Jens,
Smolka Hörmann Torsionsfeder
Kukuk
18 Feb 2015Was bedeutet denn dieser doppelpfeil genau? r>>a
admin
21 Feb 2015Das bedeutet, dass r viel größer als a ist.