Mit Hilfe einer Fourierreihe können periodische Funktionen mit Sinus- bzw Cosinusfunktionen approximiert werden, indem das mittlere Fehlerquadrat minimiert wird. Die Fourieranalyse ergibt dabei das Spektrum der Frequenzen der verwendeten Funktionen.
Beispiel: Klang
Verschiedene Instrumente, die menschliche Stimme oder auch der Computer können Klänge mit unterschiedlichen Tonhöhen und Lautstärken produzieren. Der Klang ist dabei jeweils eine Schwingung, deren Amplitude von der Lautstärke und deren Frequenz von der Tonhöhe abhängt.
Eine Stimmgabel produziert in der Regel einen nahezu perfekten sinusförmigen Schwingungsverlauf mit der Frequenz 440 Hz. Andere Instrumente haben, wenn sie den gleichen Ton spielen, die gleiche Frequenz und Amplitude, allerdings ist die Schwingung nicht sinusförmig, sondern beliebig periodisch:
Eine mathematische Funktion x(t) für die Klänge der Violine oder des Klaviers zu finden, ist schwierig. Mit Hilfe der Fourierreihe können diese Funktionen aber approximiert werden.
Wir wenden uns einem etwas handlicheren Beispiel zu: Dem Klang der menschlichen Stimme beim singen eines Vokals:
Eine solche Schwingung nennt man “Sägezahnschwingung”. Die Funktion ist unstetig bei -T/2 und T/2 (und bei allen Vielfachen nT+T/2), kann aber trotzdem durch eine Fourierreihe angenährt werden.
Fourieranalyse einer Sägezahnschwingung
Die Gleichung für die Fourierreihe lautet:

Die Bestandteile dieser Reihe werden nun genauer erklärt.
1. Schritt: Aufstellen der Funktionsgleichung im Grundintervall
Dies ist bei unserem Beispiel denkbar einfach, da die Funktion im Grundintervall [-T/2, T/2] einer Gerade entspricht:
Für eine Approximation der Funktion durch sinusförmige Schwingungen muss noch die Kreisfrequenz berechnet werden. Die normale Sinuskurve:
Die Funktion hat eine Periode von 2π, die zu approximierende aber eine von T. Wir fügen daher ein “2π” in die Sinusfunktion ein:
Die Periode ist nun 1. Um sie endgültig auf T zu ändern, teilen wir in der Sinusfunktion noch durch T:
Den Vorfaktor fassen wir zu einer Konstanten zusammen und nennen ihn Kreisfrequenz:

2. Schritt: Betrachtung der Symmetrie
An der Fourierreihe fällt Folgendes auf:
Die Cosinusanteile sind gerade in t, die Sinusanteile ungerade. Mit anderen Worten: Die Cosinusanteile sind achsensymmetrisch, die Sinusanteile punktsymmetrisch.
Die Sägezahnschwingung ist punktsymmetrisch (ungerade), daher gilt:
Da alle a-Koeffizienten 0 sind, setzt sich die Sägezahnfunktion nur aus Sinusschwingungen zusammen.
3. Schritt: Berechnung der Koeffizienten
Im Normalfall müssen nun alle an und bn berechnet werden, aufgrund der Symmetrie bleiben uns nur die bn.
Die Formel für die Berechnung der Koeffizienten lautet:

Die beiden Integrale sind das Ergebnis der Minimierung des quadratischen Fehlers zwischen f(t) und der Annäherungsfunktion. Sie resultieren aus den folgenden Orthogonalitätsbedingungen:
Auf den Zusammenhang zwischen den Bedingungen und den Formeln für a und b soll hier nicht weiter eingegangen werden, es sei aber gesagt, dass die Formeln die Orthogonalitätsbedingungen erfüllen.
Wir berechnen nun die Koeffizienten bn:
Lösung durch partielle Integration:
Es gilt:
daher die Fortsetzung der Rechnung:
4. Schritt: Ergebnis der Analyse
5. Schritt: Darstellung des Ergebnisses als Graph
Die grafische Darstellung ergibt ein Spektrum bzw eine Spektralverteilung. Es wird die Größe der Koeffizienten über ω aufgetragen. Da hier nur eine Sorte von Koeffizienten vorliegt, nämlich die vom Typ b, wird nur ein Graph benötigt:
Die gestrichelt eingezeichnete Hyperbel, die proportional zu 1/ω ist, ist eine “Pseudo-Hüllenkurve” an die diskrete Spektralverteilung.
Auf der ω-Achse sind alternativ die Nummern n der Koeffizienten angegeben.
6. Schritt: Synthese der Schwingungsfunktion f(t)
Die Summe ergibt eine Zusammensetzung der Sägezahnfunktion aus sinusförmigen Dauerschwingungen. Die Entwicklung wird dabei an einem bestimmten Punkt abgebrochen. Von der Entwicklungstiefe ist die Güte der Approximation abhängig:
7. Schritt: Darstellung des Ergebnisses als Graph
Hier zunächst die einzelnen Summanden:
Sie sehen nicht so aus, als hätten sie einen bestimmten Zusammenhang, aber wenn man sie addiert erhält man die fertige Fourierfunktion:
Die anzunährende Sägezahnfunktion ist blau dargestellt. Die lila Funktion ist eine Fourierreihenentwicklung bis zum 3. Entwicklungsschritt. Die Gelbe Funktion ist eine bis zum 8. Schritt entwickelte Reihe.
Zum Abschluss noch zwei Besonderheiten der Fourieranalyse:
1. Arithmetischer Mittelwert:
An den Stellen, an denen die Sägezahnfunktion unstetig ist, geht die Fourierreihe durch das arithmetische Mittel der Grenzwerte der beiden Folgen der Funktionswerte von links und rechts. Mit anderen Worten: Bei t = T/2 gehen die Funktionswerte der Sägezahnfunktion von links gegen 1, von rechts gegen -1. Die Fourierreihe geht durch das arithmetische Mittel: 0.
2. Gibbs’sches Phänomen:
Aufgrund der quadratischen Näherung, auf dem der Fourier-Ansatz aufbaut, kommt es an den Sprungstellen der Sägezahnfunktion zu “Überschwingern” in der Synthesefunktion. Diese werden mit zunehmender Anzahl an Entwicklungsschritten nicht kleiner! Die durchschnittliche Höhe der Überschwinger beträgt ca. 18% der Sprunghöhe. Der Effekt resultiert daraus, dass die Reihe an der Sprungstelle nicht mehr gleichmäßig konvergiert, sondern nur noch punktweise.
patrally
12 Jan 2010Und was kann man damit machen?