03 – Reelle Fourieranalyse und Fourierreihenentwicklung – Mathematical Engineering

Mit Hilfe einer Fourierreihe können periodische Funktionen mit Sinus- bzw Cosinusfunktionen approximiert werden, indem das mittlere Fehlerquadrat minimiert wird. Die Fourieranalyse ergibt dabei das Spektrum der Frequenzen der verwendeten Funktionen.

Beispiel: Klang
Verschiedene Instrumente, die menschliche Stimme oder auch der Computer können Klänge mit unterschiedlichen Tonhöhen und Lautstärken produzieren. Der Klang ist dabei jeweils eine Schwingung, deren Amplitude von der Lautstärke und deren Frequenz von der Tonhöhe abhängt.

Eine Stimmgabel produziert in der Regel einen nahezu perfekten sinusförmigen Schwingungsverlauf mit der Frequenz 440 Hz. Andere Instrumente haben, wenn sie den gleichen Ton spielen, die gleiche Frequenz und Amplitude, allerdings ist die Schwingung nicht sinusförmig, sondern beliebig periodisch:

Klangkurve von Stimmgabel, Klavier und Violine

Eine mathematische Funktion x(t) für die Klänge der Violine oder des Klaviers zu finden, ist schwierig. Mit Hilfe der Fourierreihe können diese Funktionen aber approximiert werden.

Wir wenden uns einem etwas handlicheren Beispiel zu: Dem Klang der menschlichen Stimme beim singen eines Vokals:

menschliche Stimme, Vokal

Eine solche Schwingung nennt man “Sägezahnschwingung”. Die Funktion ist unstetig bei -T/2 und T/2 (und bei allen Vielfachen nT+T/2), kann aber trotzdem durch eine Fourierreihe angenährt werden.

Fourieranalyse einer Sägezahnschwingung

Die Gleichung für die Fourierreihe lautet:

$\tilde f\left( t \right) = \frac{{a_0 }} {2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right)+b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)}$

Die Bestandteile dieser Reihe werden nun genauer erklärt.

1. Schritt: Aufstellen der Funktionsgleichung im Grundintervall

Dies ist bei unserem Beispiel denkbar einfach, da die Funktion im Grundintervall [-T/2, T/2] einer Gerade entspricht:

$f\left( t \right) = \frac{2} {T} \cdot t,\quad \quad -\frac{T} {2} < t < \frac{T} {2},\quad \quad f\left( {t \pm T} \right) = f\left( t \right)$

Für eine Approximation der Funktion durch sinusförmige Schwingungen muss noch die Kreisfrequenz berechnet werden. Die normale Sinuskurve:

$\sin \left( t \right)$

Sinuskurve

Die Funktion hat eine Periode von 2π, die zu approximierende aber eine von T. Wir fügen daher ein “2π” in die Sinusfunktion ein:

$\sin \left( {2\pi t} \right)$

Sinuskurve mit veränderter Periode

Die Periode ist nun 1. Um sie endgültig auf T zu ändern, teilen wir in der Sinusfunktion noch durch T:

$\sin \left( {\frac{{2\pi }} {T}t} \right)$

Sinuskurve mit veränderter Periode

Den Vorfaktor fassen wir zu einer Konstanten zusammen und nennen ihn Kreisfrequenz:

$\omega _0 = \frac{{2\pi }} {T}$

2. Schritt: Betrachtung der Symmetrie

An der Fourierreihe fällt Folgendes auf:

$\tilde f\left( t \right) = \frac{{a_0 }} {2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty {\underbrace {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right)}_{{\text{gerade in t}}}+\underbrace {b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)}_{{\text{ungerade in t}}}}$

Die Cosinusanteile sind gerade in t, die Sinusanteile ungerade. Mit anderen Worten: Die Cosinusanteile sind achsensymmetrisch, die Sinusanteile punktsymmetrisch.

Wenn nun also die zu approximierende Funktion gerade ist, sind alle Sinusanteile gleich 0, da sie die Achsensymmetrie unwiederbringlich zerstören würden. Umgekehrt sind bei zu approximierenden ungeraden Funktionen die Cosinusanteile gleich 0, da sie die Punktsymmetrie zerstören würden.

Die Sägezahnschwingung ist punktsymmetrisch (ungerade), daher gilt:

$a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right) = 0\quad \forall n$

$a_n = 0\quad \forall n$

Da alle a-Koeffizienten 0 sind, setzt sich die Sägezahnfunktion nur aus Sinusschwingungen zusammen.

3. Schritt: Berechnung der Koeffizienten

Im Normalfall müssen nun alle a_n und b_n berechnet werden, aufgrund der Symmetrie bleiben uns nur die b_n.

Die Formel für die Berechnung der Koeffizienten lautet:

$a_n = \frac{2} {T}\int_{-T/2}^{T/2} {f\left( t \right)\cos \left( {n\omega _0 t} \right)dt} ,\quad \quad n \in \mathbb{N}$

$b_n = \frac{2} {T}\int_{-T/2}^{T/2} {f\left( t \right)\sin \left( {n\omega _0 t} \right)dt} ,\quad \quad n \in \mathbb{N}$

Die beiden Integrale sind das Ergebnis der Minimierung des quadratischen Fehlers zwischen f(t) und der Annäherungsfunktion. Sie resultieren aus den folgenden Orthogonalitätsbedingungen:

$\int_0^{\frac{{2\pi }} {\Omega }} {\sin \left( {k\Omega t} \right)\sin \left( {l\Omega t} \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\pi } {\Omega } & k = l \\ 0 & \forall k \ne l \\ \end{array} } \right.$

$\int_0^{\frac{{2\pi }} {\Omega }} {\sin \left( {k\Omega t} \right)\cos \left( {l\Omega t} \right)} = 0\forall k,l$

$\int_0^{\frac{{2\pi }} {\Omega }} {\cos \left( {k\Omega t} \right)\cos \left( {l\Omega t} \right)} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{\pi } {\Omega } & k = l \\ 0 & \forall k \ne l \\ \end{array} } \right.$

Auf den Zusammenhang zwischen den Bedingungen und den Formeln für a und b soll hier nicht weiter eingegangen werden, es sei aber gesagt, dass die Formeln die Orthogonalitätsbedingungen erfüllen.

Wir berechnen nun die Koeffizienten b_n:

$b_n = \frac{2} {T}\int_{-T/2}^{T/2} {f\left( t \right)\sin \left( {n\omega _0 t} \right)dt}$

$b_n = \frac{2} {T}\int_{-T/2}^{T/2} {\frac{2} {T} \cdot t \cdot \sin \left( {n\omega _0 t} \right)dt} = \frac{4} {{T^2 }}\int_{-T/2}^{T/2} {t \cdot \sin \left( {n\omega _0 t} \right)dt}$

Lösung durch partielle Integration:

$\frac{4} {{T^2 }}\int_{-T/2}^{T/2} {\underbrace t_f \cdot \underbrace {\sin \left( {n\omega _0 t} \right)}_{g ^{\prime}}dt} = \frac{4} {{T^2 }}\left\{ {\left[ {t \cdot \left( {-\cos \left( {n\omega _0 t} \right)\frac{1} {{n\omega _0 }}} \right)} \right]_{-T/2}^{T/2} -\int_{-T/2}^{T/2} {-\cos \left( {n\omega _0 t} \right)\frac{1} {{n\omega _0 }}dt} } \right\}$

$= \frac{4} {{T^2 }}\left\{ {-\frac{T} {2} \cdot \cos \left( {n\omega _0 \frac{T} {2}} \right)\frac{1} {{n\omega _0 }}-\frac{T} {2} \cdot \cos \left( {-n\omega _0 \frac{T} {2}} \right)\frac{1} {{n\omega _0 }}+2\sin \left( {n\omega _0 \frac{T} {2}} \right)\frac{1} {{n^2 \omega _0 ^2 }}} \right\}$

Es gilt:

$\cos \left( {-t} \right) = \cos \left( t \right)$

$\omega _0 = \frac{{2\pi }} {T}$

daher die Fortsetzung der Rechnung:

$= \frac{4} {{T^2 }}\left\{ {-\frac{T} {2} \cdot \cos \left( {n\frac{{2\pi }} {T}\frac{T} {2}} \right)\frac{T} {{n2\pi }}-\frac{T} {2} \cdot \cos \left( {n\frac{{2\pi }} {T}\frac{T} {2}} \right)\frac{1} {{n\omega _0 }}+2\sin \left( {n\frac{{2\pi }} {T}\frac{T} {2}} \right)\frac{{T^2 }} {{n^2 4\pi ^2 }}} \right\}$

$= \frac{4} {{T^2 }}\left\{ {-\cos \left( {n\pi } \right)\frac{{T^2 }} {{4n\pi }}-\cos \left( {n\pi } \right)\frac{{T^2 }} {{4n\pi }}+2\sin \left( {n\pi } \right)\frac{{T^2 }} {{4n^2 \pi ^2 }}} \right\}$

$= -\cos \left( {n\pi } \right)\frac{1} {{n\pi }}-\cos \left( {n\pi } \right)\frac{1} {{n\pi }}$

$= \frac{{-2\cos \left( {n\pi } \right)}} {{n\pi }}$

4. Schritt: Ergebnis der Analyse

$b_n = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{2} {{n\pi }}, & {\text{n: ungerade}} \\ \frac{{-2}} {{n\pi }}, & {\text{n: gerade}} \\ \end{array} } \right.$

5. Schritt: Darstellung des Ergebnisses als Graph

Die grafische Darstellung ergibt ein Spektrum bzw eine Spektralverteilung. Es wird die Größe der Koeffizienten über ω aufgetragen. Da hier nur eine Sorte von Koeffizienten vorliegt, nämlich die vom Typ b, wird nur ein Graph benötigt:

Sägezahnschwingung im Frequenzbereich

Die gestrichelt eingezeichnete Hyperbel, die proportional zu 1/ω ist, ist eine “Pseudo-Hüllenkurve” an die diskrete Spektralverteilung.
Auf der ω-Achse sind alternativ die Nummern n der Koeffizienten angegeben.

6. Schritt: Synthese der Schwingungsfunktion f(t)

Die Summe ergibt eine Zusammensetzung der Sägezahnfunktion aus sinusförmigen Dauerschwingungen. Die Entwicklung wird dabei an einem bestimmten Punkt abgebrochen. Von der Entwicklungstiefe ist die Güte der Approximation abhängig:

$\tilde f\left( t \right) = \frac{{a_0 }} {2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty {a_n \cos \left( {n\omega _0 t} \right)+b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)}$

$\tilde f\left( t \right) = \frac{0} {2}+\sum\limits_{n = 1}^\infty {0 \cdot \cos \left( {n\omega _0 t} \right)+b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)} = \sum\limits_{n = 1}^\infty {b_n \sin \left( {n\omega _0 t} \right)}$

$\tilde f\left( t \right) = \frac{2} {\pi }\left( {\sin \left( {\omega _0 t} \right)-\frac{1} {2}\sin \left( {2\omega _0 t} \right)+\frac{1} {3}\sin \left( {3\omega _0 t} \right)-\frac{1} {4}\sin \left( {4\omega _0 t} \right)+...} \right)$

7. Schritt: Darstellung des Ergebnisses als Graph

Hier zunächst die einzelnen Summanden:

Einzelne Summanden der Fourieranalyse

Sie sehen nicht so aus, als hätten sie einen bestimmten Zusammenhang, aber wenn man sie addiert erhält man die fertige Fourierfunktion:

Summe der Entwicklungsschritte-Fourierreihe

Die anzunährende Sägezahnfunktion ist blau dargestellt. Die lila Funktion ist eine Fourierreihenentwicklung bis zum 3. Entwicklungsschritt. Die Gelbe Funktion ist eine bis zum 8. Schritt entwickelte Reihe.

Zum Abschluss noch zwei Besonderheiten der Fourieranalyse:

Besonderheiten der Fourieranalyse

1. Arithmetischer Mittelwert:
An den Stellen, an denen die Sägezahnfunktion unstetig ist, geht die Fourierreihe durch das arithmetische Mittel der Grenzwerte der beiden Folgen der Funktionswerte von links und rechts. Mit anderen Worten: Bei t = T/2 gehen die Funktionswerte der Sägezahnfunktion von links gegen 1, von rechts gegen -1. Die Fourierreihe geht durch das arithmetische Mittel: 0.

2. Gibbs’sches Phänomen:
Aufgrund der quadratischen Näherung, auf dem der Fourier-Ansatz aufbaut, kommt es an den Sprungstellen der Sägezahnfunktion zu “Überschwingern” in der Synthesefunktion. Diese werden mit zunehmender Anzahl an Entwicklungsschritten nicht kleiner! Die durchschnittliche Höhe der Überschwinger beträgt ca. 18% der Sprunghöhe. Der Effekt resultiert daraus, dass die Reihe an der Sprungstelle nicht mehr gleichmäßig konvergiert, sondern nur noch punktweise.

03 – Reelle Fourieranalyse und Fourierreihenentwicklung

Fourieranalyse einer Sägezahnschwingung