U 07.1 – Schwarzer Strahler, Pyrometer – Mathematical Engineering

Betrachten Sie zwei schwarze Strahler mit den Temperaturen ${T_1} = 27^\circ C$ und ${T_2} = 227^\circ C$ .

(Benutzen Sie dazu die folgende Abbildung)

mt2-u07-strahl-dichten-schwarzer-koerper

Bei welcher Wellenlänge liegt jeweils das Maximum der Strahlungsdichte?
Wie groß ist jeweils das Maximum der Strahlungsdichte?
Welchen Anteil der Gesamtstrahlung können Sie mit einem Pyrometer mit einer Wellenlängenakzeptanz von $8-14\mu m$ detektieren?

Lösung

Allgemeines zur Planck-Formel:

Die Plank’sche Formel für die Strahlungsleistung lautet in der Frequenzdarstellung:

${P_{A,\nu ,\Omega }} = \int\limits_{A,\nu ,\Omega } {\frac{{2h{\nu ^3}}}{{{c^2}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{\hbar \omega }}{{{k_B}T}}} \right\}-1}}dAd\nu d\Omega }$

Diese lässt sich auch wie folgt in die Wellenlängendarstellung umschreiben:

$\omega = 2\pi \nu$

$\nu = \frac{c}{\lambda }\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\nu }}{{d\lambda }} = -\frac{c}{{{\lambda ^2}}}\quad \Rightarrow \quad d\nu = \left( - \right)\frac{c}{{{\lambda ^2}}}d\lambda$

Hierbei können wir das Vorzeichen auch vernachlässigen, da für uns nur die Änderung von Bedeutung ist:

$\Rightarrow \quad {P_{A,\nu ,\Omega }} = \int\limits_{A,\lambda ,\Omega } {\frac{{2h{c^3}}}{{{c^2}{\lambda ^3}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{2\pi \hbar c}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}-1}} \cdot \frac{c}{{{\lambda ^2}}}d\lambda dAd\Omega }$

$\Rightarrow \quad {P_{A,\nu ,\Omega }} = \int\limits_{A,\lambda ,\Omega } {\underbrace {\frac{{2h{c^2}}}{{{\lambda ^5}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}-1}}}_{{L_\lambda }}d\lambda dAd\Omega }$

Die Einheit der Leistungsdichte bzw. spektralen spezifischen Ausstrahlung ${L_\lambda }$ lautet $\frac{W}{{{m^3}sr}}$ , wobei $sr$ für Steradiant steht.

Wiensches Verschiebungsgesetz:

Nach dem Wienschen Verschiebungsgesetz gilt für das Maximum der Strahlungsintensität stets:

${\lambda _{\max }}T = 2898\mu mK$

mt2-u07-spektrale-verteilung-strahlungsenergie-schwarzer-korper

[Quelle: http://de.wikipedia.org]

Noch eine Vereinfachung:

$\lambda T \ll \frac{{hc}}{K} = 14388\;\mu m \cdot K\quad \Rightarrow \quad \exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}-1 \to \exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}T}}} \right\}$

a) Wellenlänge beim Maximum der Strahlungsdichte

Durch Ablesen erhalten wir:

$T = 27^\circ C = 300K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} \approx 10\mu m$

$T = 227^\circ C = 500K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} \approx 6\mu m$

Durch Rechnen mit dem Wienschen Strahlungsgesetz erhalten wir:

${\lambda _{\max }}T = 2898\mu mK\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} = \frac{{2898\mu mK}}{T}$

$T = 27^\circ C = 300K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} = 9,66\mu m$

$T = 227^\circ C = 500K\quad \Rightarrow \quad {\lambda _{\max }} = 5,8\mu m$

b) Maximum der Strahlungsdichte

Das Maximum der Strahlungsdichte ermitteln wir mit Hilfe der spektralen spezifischen Ausstrahlung:

${L_{\lambda ,\max }} = \frac{{2h{c^2}}}{{\lambda _{\max }^5}}\frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{{\lambda _{\max }}T \cdot {k_B}}}} \right\}}} = \frac{{2h{c^2}{T^5}}}{{{{\left( {2898\mu mK} \right)}^5}}} \cdot \frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{2898\mu m \cdot {k_B}}}} \right\}}}$

$\Rightarrow \quad {L_{\lambda ,\max }} = \underbrace {\frac{{2h{c^2}}}{{{{\left( {2898\mu mK} \right)}^5}}}}_b \cdot {T^5} \cdot \underbrace {\frac{1}{{\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{2898\mu m \cdot {k_B}}}} \right\}}}}_{0,007} = b \cdot {T^5} \cdot 0,007$