Im Folgenden sei der Rand eines einfach zusammenhängenden begrenzten Gebietes
der Klasse
für ein
. Es existiert eine parametrisierte Darstellung
, die k-fach stetig differenzierbar und regulär ist, also
. Wir definieren den Sobolev-Raum
.
Das Skalarprodukt sei
.
Da wir andere reguläre parametrisierte Darstellungen für zulassen wollen, müssen wir die Invarianz unserer Definition bei einer Änderung der parametrisierten Darstellung zeigen.
Theorem: Seien zwei unterschiedliche parametrisierte Darstellungen von
. Dann gilt für jedes
:
ist homöomorph zu .
Homöomorphismus: bijektive, stetige Abbildung zwischen zwei Objekten, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. Diffeomorphismus: bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.
Lemma: Sei ein Diffeomorphismus des Intervalls
auf sich selbst der Klasse
, d.h.
sei eine Bijektion so dass
. Sei
. Dann gibt es für jedes
ein
mit
, wobei die Konstante
nur von
,
und
abhängt.