3.6 – Der Sobolev-Raum Hs[Γ] – Mathematical Engineering

3.6 – Der Sobolev-Raum H^s[Γ]

Im Folgenden sei $\Gamma$ der Rand eines einfach zusammenhängenden begrenzten Gebietes $\Omega \subset {\mathbb{R}^2}$ der Klasse ${C^k}$ für ein $k \in \mathbb{N}$ . Es existiert eine parametrisierte Darstellung $\left( {{x_1},{x_2}} \right) = Z\left( t \right),\:\:t \in \left[ {0,2\pi } \right]$ , die k-fach stetig differenzierbar und regulär ist, also $\dot Z\left( t \right) \ne 0\forall t \in \left[ {0,2\pi } \right]$ . Wir definieren den Sobolev-Raum

${H^s}\left( \Gamma \right) = \left\{ {\varphi \in {L^2}\left( \Gamma \right):\varphi \circ Z \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]} \right\}$ .

Das Skalarprodukt sei

${\left\langle {\varphi ,\psi } \right\rangle _{{H^s}\left( \Gamma \right)}}: = {\left\langle {\varphi \circ Z,\psi \circ Z} \right\rangle _{{H^s}\left[ {0,2\pi } \right]}}$ .

Da wir andere reguläre parametrisierte Darstellungen für $\Gamma$ zulassen wollen, müssen wir die Invarianz unserer Definition bei einer Änderung der parametrisierten Darstellung zeigen.

Theorem: Seien $x = Z\left( t \right),x = \tilde Z\left( t \right),t \in \left[ {0,2\pi } \right]$ zwei unterschiedliche parametrisierte Darstellungen von $\Gamma$ . Dann gilt für jedes $s \in \left[ {0,k} \right]$ :

${\tilde H^s}\left( \Gamma \right): = \left\{ {\varphi \in {L^2}\left( \Gamma \right):\varphi \circ \tilde Z \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]} \right\}$

ist homöomorph zu ${H^s}\left( \Gamma \right)$ .

Erinnerung : Diffeomorphismus
Homöomorphismus: bijektive, stetige Abbildung zwischen zwei Objekten, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. Diffeomorphismus: bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.

Lemma: Sei $f$ ein Diffeomorphismus des Intervalls $\left[ {0,2\pi } \right]$ auf sich selbst der Klasse $k \in \mathbb{N}$ , d.h. $f$ sei eine Bijektion so dass $f,{f^{-1}} \in {C^k}\left[ {0,2\pi } \right]$ . Sei $0 \leq s \leq k$ . Dann gibt es für jedes $\varphi \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]$ ein $\varphi \circ f \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]$ mit ${\left\| {\varphi \circ f} \right\|_s} \leq C{\left\| \varphi \right\|_s}$ , wobei die Konstante $C$ nur von $f$ , $k$ und $s$ abhängt.