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3.6 – Der Sobolev-Raum Hs[Γ]

Im Folgenden sei \Gamma der Rand eines einfach zusammenhängenden begrenzten Gebietes \Omega \subset {\mathbb{R}^2} der Klasse {C^k} für ein k \in \mathbb{N}. Es existiert eine parametrisierte Darstellung \left( {{x_1},{x_2}} \right) = Z\left( t \right),\:\:t \in \left[ {0,2\pi } \right], die k-fach stetig differenzierbar und regulär ist, also \dot Z\left( t \right) \ne 0\forall t \in \left[ {0,2\pi } \right]. Wir definieren den Sobolev-Raum

{H^s}\left( \Gamma \right) = \left\{ {\varphi \in {L^2}\left( \Gamma \right):\varphi \circ Z \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]} \right\}.

Das Skalarprodukt sei

{\left\langle {\varphi ,\psi } \right\rangle _{{H^s}\left( \Gamma \right)}}: = {\left\langle {\varphi \circ Z,\psi \circ Z} \right\rangle _{{H^s}\left[ {0,2\pi } \right]}}.

Da wir andere reguläre parametrisierte Darstellungen für \Gamma zulassen wollen, müssen wir die Invarianz unserer Definition bei einer Änderung der parametrisierten Darstellung zeigen.

Theorem: Seien x = Z\left( t \right),x = \tilde Z\left( t \right),t \in \left[ {0,2\pi } \right] zwei unterschiedliche parametrisierte Darstellungen von \Gamma. Dann gilt für jedes s \in \left[ {0,k} \right]:

{\tilde H^s}\left( \Gamma \right): = \left\{ {\varphi \in {L^2}\left( \Gamma \right):\varphi \circ \tilde Z \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right]} \right\}

ist homöomorph zu {H^s}\left( \Gamma \right).

Erinnerung : Diffeomorphismus
Homöomorphismus: bijektive, stetige Abbildung zwischen zwei Objekten, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist. Diffeomorphismus: bijektive, stetig differenzierbare Abbildung, deren Umkehrabbildung auch stetig differenzierbar ist.

Lemma: Sei f ein Diffeomorphismus des Intervalls \left[ {0,2\pi } \right] auf sich selbst der Klasse k \in \mathbb{N}, d.h. f sei eine Bijektion so dass f,{f^{-1}} \in {C^k}\left[ {0,2\pi } \right]. Sei 0 \leq s \leq k. Dann gibt es für jedes \varphi \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right] ein \varphi \circ f \in {H^s}\left[ {0,2\pi } \right] mit {\left\| {\varphi \circ f} \right\|_s} \leq C{\left\| \varphi \right\|_s}, wobei die Konstante C nur von f, k und s abhängt.

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