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Aufgabe 4.4 – Steuerbarkeit und Zustandsrückführung

Gegeben ist das zeitdiskrete System

{\vec x_{k+1}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&0 \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right){\vec x_k}+\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}} \\ {{b_2}} \end{array}} \right){u_k}

mit den Parametern {a_{ij}} \ne 0.

  1. Berechnen Sie die diskrete Steuerbarkeitsmatrix und geben Sie Bedingungen für b1 und b2 an, damit das System steuerbar ist.
  2. Entwerfen Sie eine Zustandsrückführung {\vec h^T} so, dass das charakteristische Polynom des geschlossenen Kreises die Form

    w\left( \lambda \right) = {\lambda ^2}+{p_1}\lambda +{p_2}

    hat.

Lösung

a)

{S_S} = \left( {{{\vec b}_d}|{A_d}{{\vec b}_d}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{b_1}{a_{11}}} \\ {{b_2}}&{{b_1}{a_{21}}+{b_2}{a_{22}}} \end{array}} \right)

Damit das System vollständig steuerbar ist, muss die Determinante der Steuerbarkeitsmatrix ungleich Null sein:

\left| {{S_S}} \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}}&{{b_1}{a_{11}}} \\ {{b_2}}&{{b_1}{a_{21}}+{b_2}{a_{22}}} \end{array}} \right| = {b_1}\left( {{b_1}{a_{21}}+{b_2}{a_{22}}} \right)-{b_1}{b_2}{a_{11}} \ne 0

\Rightarrow \quad {b_1}\left( {{b_1}{a_{21}}+{b_2}{a_{22}}-{b_2}{a_{11}}} \right) \ne 0\quad \Rightarrow \quad \underline{\underline {{b_1} \ne 0}}

\Rightarrow \quad \underline{\underline {\frac{{{b_2}}}{{{b_1}}} \ne \frac{{{a_{21}}-{a_{11}}}}{{{a_{22}}}}}}

b)

Für die Berechnung der Zustandsrückführung verwenden wir die Ackermann-Formel:

{\vec h^T} = {\vec q^T} \cdot w\left( {{A_d}} \right)

Mit:

\vec q = {\left( {S_s^{-1}} \right)^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right)

Durch Invertieren der Steuerbarkeitsmatrix erhalten wir:

S_s^{-1} = \frac{1}{{b_1^2{u_{21}}+{b_1}{b_2}{a_{22}}-{b_1}{b_2}{a_{11}}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_1}{a_{21}}+{b_2}{a_{22}}}&{-{b_1}{a_{11}}} \\ {{b_2}}&{{b_1}} \end{array}} \right)

\Rightarrow \quad \vec q = {\left( {S_s^{-1}} \right)^T}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \end{array}} \right) = S_s^{-1} = \frac{1}{{b_1^2{u_{21}}+{b_1}{b_2}{a_{22}}-{b_1}{b_2}{a_{11}}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_2}} \\ {{b_1}} \end{array}} \right)

Für das charakteristische Polynom soll gelten:

w\left( \lambda \right) = {\lambda ^2}+{p_1}\lambda +{p_2}

Wir ersetzen nun im charakteristischen Wunschpolynom die skalare Variable \lambda durch die diskrete Systemmatrix {A_d}:

\Rightarrow \quad w\left( {{A_d}} \right) = {A_d}^2+{p_1}{A_d}+{p_2}

Mit

A_d^2 = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&0 \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&0 \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a_{11}^2}&0 \\ {{a_{11}}{a_{21}}+{a_{22}}{a_{21}}}&{a_{22}^2} \end{array}} \right)

folgt:

w\left( {{A_d}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a_{11}^2}&0 \\ {{a_{11}}{a_{21}}+{a_{22}}{a_{21}}}&{a_{22}^2} \end{array}} \right)+{p_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&0 \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)+{p_2}

Damit ergibt sich die Zustandsrückführung zu:

{{\vec h}^T} = \frac{1}{{b_1^2{u_{21}}+{b_1}{b_2}{a_{22}}-{b_1}{b_2}{a_{11}}}} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{b_2}}&{{b_1}} \end{array}} \right) \cdot

\cdot \left[ {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{a_{11}^2}&0 \\ {{a_{11}}{a_{21}}+{a_{22}}{a_{21}}}&{a_{22}^2} \end{array}} \right)+{p_1}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{a_{11}}}&0 \\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right)+{p_2}} \right]

\mathcal{J}\mathcal{K}

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