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U 07.4 – Temperaturmessung in Gasen mittels spektroskopischen Verfahren

Mit Hilfe eines Nd:YAG Lasers ({\lambda _0} = 1064nm, \Delta f = 1MHz) soll die Temperatur eines Gases ermittelt werden. Als zu untersuchendes Gas soll im Folgenden Stickstoff (N2) betrachtet werden.

  1. Welche (mittlere) Frequenz {f_0} und Energie E hat das eingestrahlte Licht des Lasers?
  2. Berechnen Sie die Linienverbreiterung (Annahme: quadratische Addition der Halbwertsbreiten \Delta f) der Laserlinie für Gastemperaturen von -100°C, 20°C und 500°C.
  3. Vergleichen Sie die berechneten Linienbreiten aus der vorherigen Aufgabe mit der natürlichen Lebensdauer \tau \sim \left( {1\mu s,1ns} \right) bei der Abregung eines angeregten Zustandes des Gases.
  4. Die Breite der Linien wird zusätzlich durch Stöße der Gasmoleküle untereinander beeinflusst (sog. Stoßverbreiterung). Berechnen Sie die Linienbreite / Linienverbreiterung durch diesen Effekt für das Gas unter Normalbedingungen und Raumtemperatur.
  5. Wie hoch darf die Gasdichte demnach maximal sein, um die Temperaturmessung mittels Dopplereffekt nicht zu stören?
  6. Welches Auflösungsvermögen \Delta \lambda müsste ein Spektrometer besitzen, um diesen Effekt auflösen zu können?

Lösung

a) Frequenz und Energie des Laserlichts

{\lambda _0} = 1064nm

{{\hat f}_0} = \frac{c}{{{\lambda _0}}} = 281,7 \cdot {10^{12}}Hz = 281,7THz

E = h{{\hat f}_0} = \frac{{hc}}{{{\lambda _0}}} = 1,165eV

b) Berechnung der Linienverbreiterung

Für die Dopplerverbreiterung \Delta \Omega \left( T \right) aufgrund der Temperatur gilt:

\Delta f_{FWHM}^D = \sqrt {\frac{{8kT\ln 2}}{{m{c^2}}}} {f_0}

Mit

m\left( {{N_2}} \right) = 28u \approx 28\frac{{GeV}}{{{c^2}}}

folgt für die relative Dopplerverbreiterung:

\frac{{\Delta {f^D}}}{{{f_0}}} = \sqrt {\frac{{8kT\ln 2}}{{m{c^2}}}} = \sqrt {\frac{{8 \cdot 25meV \cdot \frac{T}{{293K}}\ln 2}}{{28\frac{{GeV}}{{{c^2}}} \cdot {c^2}}}} = 2,2 \cdot {10^{-6}}\sqrt {\frac{T}{{293K}}}

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta {f^D}}}{{{f_0}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1,7 \cdot {{10}^{-6}}}&{f\ddot ur}&{T = -100^\circ C} \\ {2,2 \cdot {{10}^{-6}}}&{f\ddot ur}&{T = 20^\circ C} \\ {3,6 \cdot {{10}^{-6}}}&{f\ddot ur}&{T = 500^\circ C} \end{array}} \right.

Quadratische Addition der Halbwertsbreiten bedeutet:

\Delta f_{ges}^2 = \Delta f_0^2+\Delta f_D^2

Durch Umformen erhalten wir:

\frac{{\Delta {f_{ges}}}}{{{f_0}}} = {\left( {\frac{{\Delta f_0^2}}{{f_0^2}}+\frac{{\Delta f_D^2}}{{f_0^2}}} \right)^{\frac{1}{2}}}

Für den ersten Term erhalten wir:

\frac{{\Delta {f_0}}}{{{f_0}}} = 3,55 \times {10^{-9}}

Wie wir sehen ist die Dopplerverbreiterung dominant gegenüber der Linienbreite und die Linienbreite somit vernachlässigbar.

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta {f_{ges}}}}{{{f_0}}} \approx \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1,7 \cdot {{10}^{-6}}}&{f\ddot ur}&{T = -100^\circ C} \\ {2,2 \cdot {{10}^{-6}}}&{f\ddot ur}&{T = 20^\circ C} \\ {3,6 \cdot {{10}^{-6}}}&{f\ddot ur}&{T = 500^\circ C} \end{array}} \right.

c) Vergleich von Liniebreite und Lebensdauer

Ein angeregtes Elektron besitzt auf einem höheren Energieniveau nur eine Begrenzte “Lebensdauer”, bevor auf ein niedrigeres Energieniveau zurückfällt. Diese Lebensdauer \tau liegt im Bereich von Nanosekunden bis Mikrosekunden. Mit dieser Lebensdauer erhalten wir:

\Delta {f_{\max }} = \frac{1}{\tau } = \left( {1 \cdot {{10}^6} \ldots 1 \cdot {{10}^9}} \right)Hz

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta {f_{\max }}}}{{{f_0}}} = 3,6 \cdot {10^{-9}} \ldots 3,6 \cdot {10^{-6}}

Ein Vergleich mit den in Teilaufgabe b) berechneten Werten zeigt, dass die Linienbreite, die durch die Abregung entsteht, fast nicht auflösbar ist!

d) Stoßverbreiterung

(Die Stoßzeit ist größer als \frac{1}{{\Delta {f^D}}}. Die Stoßzahl \bar z ist kleiner als \Delta {f^D}.)

Durch Stöße im Gas kommt es ebenfalls zur Abregung. Damit wird die Lebensdauer der höheren Energiezustände zusätzlich verkürzt.

Wir gehen von der Annahme aus, dass sich alles in Ruhe befindet und die Zahl der Moleküle n im Raum, der von Molekülen mit der Geschwindigkeit \bar v in der Zeit \Delta t durchflogen wird, der Anzahl der Stöße N während der Zeit \Delta t entspricht.

mt2-u07-zylinder-stoß-verbreiterung

Es gilt somit für die Anzahl der Stöße:

N = nV = n\;{d^2}\pi \;\bar v\Delta t

Dabei ist l = \bar v\Delta t die Länge des Zylinders. Daraus folgt für die Stoßzahl:

\bar z = \frac{N}{{\Delta t}} = n{d^2}\pi \bar v

Wenn alles in Bewegung ist, erhöht sich diese Zahl auf:

\bar z = \sqrt 2 n{d^2}\pi \bar v

Mit dem idealen Gasgesetz folgt:

pV = NRT\quad \Rightarrow \quad \frac{N}{V} = n = \frac{p}{{{k_B}T}}

\Rightarrow \quad \bar z = \sqrt 2 {d^2}\pi \bar v\frac{p}{{{k_B}T}}

Für die mittlere Geschwindigkeit gilt:

\bar v = \int_0^\infty {vF\left( v \right)dv}

Dabei ist F\left( v \right) die Dichtefunktion der Maxwell-Boltzmann-Verteilung (maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung):

mt2-u07-Maxwell-Distr

[Quelle: http://de.wikipedia.org]

Es ergibt sich:

\bar v = \sqrt {\frac{{8kT}}{{\pi m}}}

\Rightarrow \quad \bar z = \sqrt 2 d\pi \frac{p}{{kT}}\sqrt {\frac{{8{k_B}T}}{{\pi m}}} = 4{d^2}p\sqrt {\frac{\pi }{{m{k_B}T}}}

\Rightarrow \quad \bar z = 4 \cdot {\left( {\underbrace {2 \cdot 1,5{\AA}}_{3 \cdot {{10}^{-10}}m}} \right)^2} \cdot {10^5}Pa \cdot \sqrt {\frac{\pi }{{28 \cdot 1,67 \cdot {{10}^{-27}}kg \cdot 1,38 \cdot {{10}^{-28}}\frac{J}{K} \cdot 300K}}}

\Rightarrow \quad \Delta {f_{Stoss}} = \bar z = 4,9 \cdot {10^9}\frac{1}{s}

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta {f_{Stoss}}}}{{{f_0}}} = 16,3 \cdot {10^{-6}}

\Rightarrow \quad \frac{{\Delta {f_{ges}}}}{{{f_0}}} = {\left( {{{\left( {\frac{{\Delta {f_0}}}{{{f_0}}}} \right)}^2}+{{\left( {\frac{{\Delta {f_D}}}{{{f_0}}}} \right)}^2}+{{\left( {\frac{{\Delta {f_{nat}}}}{{{f_0}}}} \right)}^2}+{{\left( {\frac{{\Delta {f_{Stoss}}}}{{{f_0}}}} \right)}^2}} \right)^{\frac{1}{2}}}

e) Maximale Gasdichte

Es soll gelten: \Delta {f_{Stoss}} \ll \Delta {f_D}

Wir haben bisher berechnet:

{\left. {\frac{{\Delta {f_{Stoss}}}}{{{f_0}}} \approx 16,3 \cdot {{10}^{-6}}} \right|^{Atmosph.}},\quad \quad {\left. {\frac{{\Delta {f_D}}}{{{f_0}}}} \right|^{T = 20^\circ C}} = 2,2 \cdot {10^{-6}}

Damit bekommen wir ein Verhältnis von:

\frac{{\Delta {f_{Stoss}}}}{{\Delta {f_D}}} \approx 7,4

Damit die Bedingung \Delta {f_{Stoss}} \ll \Delta {f_D} erfüllt ist, darf die Gasdichte (also Druck und Teilchenzahl) nur etwa ein Tausendstel der Normalbedingungen sein.

f) Benötigtes Auflösungsvermögen

{\left. {\frac{{\Delta {f_D}}}{{{f_0}}}} \right|^{T = 20^\circ C}} = 2,2 \cdot {10^{-6}}

\Rightarrow \quad \Delta {f_D} = 619,7MHz

\lambda = \frac{c}{f}\quad \Rightarrow \quad \frac{{d\lambda }}{{df}} = \left( - \right)\frac{c}{{{f^2}}}

\Rightarrow \quad \Delta \lambda = \frac{c}{{{f^2}}}\Delta f = \frac{c}{{f_0^2}}\Delta {f_D}\quad \Rightarrow \quad \Delta \lambda = 2,3pm

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