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U 07.2 – Temperaturüberwachung im Hochofen

Zur Temperaturüberwachung der Schmelze in einem Hochofen haben Sie ein Pyrometer mit \lambda = 1,0\mu m zur Verfügung.

  1. Geben Sie das Verhältnis der detektierten Leistungen bei den Temperaturen {\vartheta _1} = 1600^\circ C und {\vartheta _2} = 1900^\circ C für einen schwarzen Körper an.
  2. Betrachten Sie nun, dass die Schmelze einen optischen Emissionsgrad von \varepsilon \left( \lambda \right) = 0,3 hat. Welche Temperatur zeigt das Pyrometer für die {\vartheta _2} = 1900^\circ C heiße Schmelze an, wenn das Gerät keine Korrektur des Emissionsgrades vorsieht?

Lösung

a) Verhältnis der detektierten Leistungen

\frac{{L_\lambda ^{T2}}}{{L_\lambda ^{T1}}} = \frac{{{\varepsilon _2}\lambda _1^5}}{{{\varepsilon _1}\lambda _2^5}}\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{{k_B}{T_1}{\lambda _1}}}-\frac{{hc}}{{{k_B}{T_2}{\lambda _2}}}} \right\}\mathop = \limits^{{\lambda _1} = {\lambda _2},{\varepsilon _1} = {\varepsilon _2}} \exp \left\{ {\frac{{hc}}{{{k_B}\lambda }}\left( {\frac{1}{{{T_1}}}-\frac{1}{{{T_2}}}} \right)} \right\}

\Rightarrow \quad \frac{{L_\lambda ^{T2}}}{{L_\lambda ^{T1}}} = \exp \left\{ {{T_0}\left( {\frac{1}{{{T_1}}}-\frac{1}{{{T_2}}}} \right)} \right\}

Dabei ist {T_0} = \frac{{hc}}{{\lambda {k_B}}} = 14394K. Wir erhalten:

\frac{{L_\lambda ^{T2}}}{{L_\lambda ^{T1}}} = \exp \left\{ {14394K\left( {\frac{1}{{1873K}}-\frac{1}{{2173K}}} \right)} \right\} = 2,89

b) Messung ohne Korrektur des Emissionsgrades

Wir benutzen nun die Indizes M (Messung) und R (Real). Es gilt:

{L_M} = {L_R}

\Rightarrow \quad \frac{{2h{c^2}}}{{{\lambda ^5}\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}{T_M}}}} \right\}}} = \varepsilon \frac{{2h{c^2}}}{{{\lambda ^5}\exp \left\{ {\frac{{hc}}{{\lambda {k_B}{T_R}}}} \right\}}},\quad \quad \quad \frac{{hc}}{{\lambda {k_B}}} = :{T_0}

\Rightarrow \quad \exp \left\{ {\frac{{{T_0}}}{{{T_M}}}} \right\} = \exp \left\{ {\frac{{{T_0}}}{{{T_R}}}} \right\} \cdot \frac{1}{\varepsilon }\quad |\ln \left( \ldots \right)

\Rightarrow \quad \frac{{{T_0}}}{{{T_M}}} = \frac{{{T_0}}}{{{T_R}}}-\ln \varepsilon \quad \Rightarrow \quad {T_M} = {T_0}\frac{1}{{\frac{{{T_0}}}{{{T_R}}}-\ln \varepsilon }}\quad \Rightarrow \quad \frac{{{T_M}}}{{{T_R}}} = \frac{1}{{1-\frac{{{T_R}}}{{{T_0}}}\ln \varepsilon }} = 0,846

\Rightarrow \quad {T_M} = 1880K = 1607^\circ C

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