U 02.2 – Zeitverhalten eines Hochpass-Messgliedes (Teil 1) – Mathematical Engineering

mess-u02-schaltbild-hochpass-messglied

Gegeben ist die Schaltung aus Abb. 1 zusätzlich müssen nun auch die Ströme ${I_C},{I_R}$ und ${I_A}$ betrachtet werden.

Ermitteln Sie die Differentialgleichung für ${U_a}\left( t \right)$ , wenn der Ausgang nicht belastet wird $\left( {{I_A} = 0\:A} \right)$ .
Bestimmen Sie die Sprungantwort des Hochpass-Messgliedes. Lösen Sie dazu die DGL für den Fall, dass sich die Eingangsspannung ${U_e}$ zur Zeit $t = 0$ sprungförmig von ${U_e}\left( {t = 0} \right) = 0$ auf ${U_e}\left( {t > 0} \right) = {U_0}$ ändert.

Lösung

a)

Zunächst folgt das Aufstellen der Knoten- und Maschengleichungen nach Kirchhoff (vgl. ET):

$\sum {{I_{zu}}\left( t \right)} = \sum {{I_{ab}}\left( t \right)}$

$\sum {U\left( t \right) = 0}$

${I_c}\left( t \right) = {I_R}\left( t \right)$

${U_e}\left( t \right) = {U_c}\left( t \right)+{U_R}\left( t \right)$

Es gilt:

$C = \frac{Q}{{{U_c}}}\quad \Leftrightarrow \quad {U_c} = \frac{Q}{C}\quad \Leftrightarrow \quad {\dot U_c} = \frac{I}{C}$
${U_R} = {U_a}\left( t \right)$

Damit folgt:

${\dot U_e} = {\dot U_c}+{\dot U_R} = \frac{{{I_c}}}{C}+{\dot U_a}\left( t \right)$

Einsetzten von ${I_c} = {I_R}$ :

${I_c} = {I_R} = \frac{{{U_R}}}{R}$

$\Rightarrow \quad {{\dot U}_e} = \frac{{{U_R}}}{{R \cdot C}}+{{\dot U}_a}\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{{\dot U}_e}\left( t \right) = \frac{{{U_a}\left( t \right)}}{{R \cdot C}}+{{\dot U}_a}\left( t \right)}}$

Das ist die gesuchte DGL.

b)

Im dieser Teilaufgabe soll die Antwort des Hochpass-Messgliedes auf folgendes Signal bestimmt werden:

mess-u02-sprungfunktion

Lösung der homogenen Gleichung:

$\frac{1}{{RC}} \cdot {U_a}\left( t \right)+{{\dot U}_a}\left( t \right) = 0$

$\frac{d}{{dt}}{U_a} = -\frac{1}{{RC}}{U_a}$

$\int {\frac{{d{U_a}}}{{{U_a}}}} = \int {-\frac{1}{{RC}}} \cdot dt$

$\ln {U_a} = -\frac{1}{{RC}} \cdot t+B$

${U_{a,hom}} = B \cdot {e^{-\frac{t}{{RC}}}}$

Alternativ könnte man die homogene DGL auch mit dem allgemeinen Ansatz ${U_a} = B \cdot {e^{\lambda t}}$ lösen.

Jetzt betrachten wir die Randbedingungen:

${U_c}\left( {t = 0} \right) = 0$

${U_a}\left( {t = 0} \right) = {U_e}\left( {t = 0} \right) = {U_0}$

${U_a}\left( {t = 0} \right) = B \cdot {e^0} = {U_0}\quad \Rightarrow \quad B = {U_0}$

Jetzt kommen wir zur partikulären Lösung:

Für $t \to \infty \quad \Rightarrow \quad \frac{d}{{dt}} = 0$

$\underbrace {{{\dot U}_e}\left( {t \to \infty } \right)}_{ = 0!} = \frac{1}{{RC}}{U_a}\left( {t \to \infty } \right)+\underbrace {{{\dot U}_a}\left( {t \to \infty } \right)}_{ = 0!}$