U 02.3 – Frequenzverhalten eines Hochpass-Messgliedes – Mathematical Engineering

mess-u02-schaltbild-hochpass-messglied

Frequenzgang
1. Geben Sie für die gegebene CR-Schaltung den komplexen Frequenzgang $G\left( {i\omega } \right) = {U_a}\left( \omega \right)/{U_e}\left( \omega \right)$ an.
2. Spalten Sie den Frequenzgang in seinen Realteil $\operatorname{Re} \left\{ {G\left( {i\omega } \right)} \right\}$ und Imaginärteil $\operatorname{Im} \left\{ {G\left( {i\omega } \right)} \right\}$ auf.
Amplitudengang
1. Geben Sie den Amplitudengang $G\left( \omega \right) = \left| {G\left( {i\omega } \right)} \right|$ an.
2. Welchen Wert hat der Amplitudengang für den Grenzfall $\omega = 0\:{s^{-1}}$ ?
3. Welchen Wert hat der Amplitudengang für den hohe Frequenzen $\omega RC \gg 1$ ?
4. Welchen Wert hat der Amplitudengang für den niedrige Frequenzen $\omega RC \ll 1$ ?
Grenzfrequenz
1. Geben Sie für das System die Grenzfrequenz ${\omega _g}$ an.
2. Geben Sie den Frequenzgang $G\left( {i\omega } \right)$ und den Amplitudengang $G\left( \omega \right)$ für die so genannte bezogene Frequenz $\omega /{\omega _g}$ an.
Phasengang

Ermitteln Sie den Phasengang $\varphi \left( {i\omega } \right)$
Zahlenbeispiel

Für zwei Sensoren sind die Ersatzschaltungen nach der gegebenen Abbildung mit den Komponenten ${R_1}$ und ${C_1}$ bzw. ${R_2}$ und ${C_2}$ gegeben. Die Komponenten haben folgende Dimensionen: ${R_1} = {R_2} = 160\:k\Omega {\text{,}}\quad {C_1} = 1\:\mu F$ und ${C_2} = 200\:nF$ . Die entsprechenden Frequenzgänge sind ${G_1}\left( {i\omega } \right)$ und ${G_2}\left( {i\omega } \right)$ .
1. Welchen Wert haben die Grenzfrequenzen ${\omega _{g1}}$ und ${\omega _{g2}}$ ?
2. Welchen Wert haben die Amplitudengänge bei $\omega = 0\:{s^{-1}}$ ?
3. Welchen Wert haben die Amplitudengänge bei $\omega = 10\:{\omega _g}$ und $\omega = 100\:{\omega _g}$ ?
4. Zeichnen Sie die Amplitudengänge beider Sensoren für den Frequenzbereich $0.1\:{\omega _g}$ bis $10\:{\omega _g}$ in einem doppelt logarithmischen Diagramm.
5. Skizzieren Sie den Phasengang der beiden Schaltungen für den selben Frequenzbereich.

Lösung

a) Frequenzgang

i)

Als Frequenzgang bezeichnet man den Zusammenhang zwischen sinusförmigen Schwingungen am Ein- und Ausgang eines linearen zeitinvarianten Systems / Übertragungsglieds.

Für den komplexen Frequenzgang gilt:

$\boxed{G\left( {i\omega } \right) = \frac{{{U_a}\left( \omega \right)}}{{{U_e}\left( \omega \right)}}}$

Für den Kosinus gilt im Komplexen:

${U_e}\left( t \right) = {U_e} \cdot {e^{i\omega t}}\quad ;\quad {U_a}\left( t \right) = {U_a} \cdot {e^{i\omega \left( {t+\varphi } \right)}}$

Hierbei weißt das Ausgangssignal eine andere Amplitude als das Eingangssignal sowie eine Phasenverschiebung auf.

Dies setzten wir in die DGL des Hochpass-Messgliedes ein:

${{\dot U}_e}\left( t \right) = \frac{1}{{RC}} \cdot {U_a}\left( t \right)+{{\dot U}_a}\left( t \right)$

$\Rightarrow \quad i\omega {U_e} = \frac{1}{{RC}}{U_a}+i\omega {U_a}$

$\Rightarrow \quad i\omega \cdot RC \cdot {U_e} = {U_a}\left( {1+i\omega RC} \right)$

$\Rightarrow \quad \frac{{{U_a}}}{{{U_e}}} = \frac{{i\omega RC}}{{1+i\omega RC}} = \frac{R}{{R+\frac{1}{{i\omega C}}}} = \frac{1}{{1+\frac{1}{{i\omega RC}}}} = \underline{\underline {\frac{{i\omega RC}}{{1+i\omega RC}} = G\left( {i\omega } \right) = G\left( \omega \right)}}$

Alternative Lösung

Der komplexe Frequenzgang berechnet sich zu:

$G\left( {i\omega } \right) = \frac{{{U_a}\left( \omega \right)}}{{{U_e}\left( \omega \right)}}$

Mit Hilfe der komplexen Widerstände gilt:

${U_a}\left( \omega \right) = {Z_R} \cdot I = R \cdot I$

${U_e}\left( \omega \right) = {Z_c} \cdot I+{Z_R} \cdot I = \frac{1}{{i\omega C}} \cdot I+R \cdot I$

$\Rightarrow \quad G\left( {i\omega } \right) = \frac{{{U_a}\left( \omega \right)}}{{{U_e}\left( \omega \right)}} = \frac{R}{{\frac{1}{{i\omega C}}+R}} = \ldots = \frac{{i\omega RC}}{{1+i\omega RC}} \cdot \frac{{1-i\omega RC}}{{1-i\omega RC}} = \underline{\underline {\frac{{i\omega RC+{{\left( {\omega RC} \right)}^2}}}{{1+{{\left( {\omega RC} \right)}^2}}}}}$

ii)

$\tau = RC$

$G\left( {i\omega } \right) = \frac{{i\omega \tau }}{{1+i\omega \tau }} \cdot \frac{{1-i\omega \tau }}{{1-i\omega \tau }} = \frac{{i\omega \tau +{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}}}{{1+{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}}}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {\operatorname{Re} = \frac{{{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}}}{{1+{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}}}}}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {\operatorname{Im} = \frac{{\omega \tau }}{{1+{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}}}}}$

b) Amplitudengang

i)

Für den Amplitudengang gilt:

$\boxed{G\left( \omega \right) = \left| {G\left( {i\omega } \right)} \right| = \sqrt {{{\operatorname{Re} }^2}+{{\operatorname{Im} }^2}} }$

$\left| {G\left( {i\omega } \right)} \right| = \sqrt {{{\operatorname{Re} }^2}+{{\operatorname{Im} }^2}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\omega \tau } \right)}^4}+{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}}}{{{{\left( {1+{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}} \right)}^2}}}} = \sqrt {\frac{{{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}\left[ {{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}+1} \right]}}{{{{\left( {1+{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}} \right)}^2}}}} = \frac{{\omega \tau }}{{\sqrt {1+{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}} }} = \frac{{\omega RC}}{{\sqrt {1+{{\left( {\omega RC} \right)}^2}} }}$

ii)

$\underline{\underline {\mathop {\lim }\limits_{\omega \to 0} G\left( \omega \right) = \frac{0}{1} = 0}}$

iii)

$\omega \tau \gg 1\quad ;\quad \mathop {\lim }\limits_{\omega \tau \gg 1} G\left( \omega \right) \overset{\wedge}{=}\frac{{\omega \tau }}{{\sqrt {{{\left( {\omega \tau } \right)}^2}} }} = \underline{\underline 1}$

iv)

$\omega \tau \ll 1\quad ;\quad \mathop {\lim }\limits_{\omega \tau \ll 1} \left| {G\left( \omega \right)} \right| = \frac{{\omega \tau }}{{\sqrt 1 }} = \underline{\underline {\omega \tau }}$

c) Grenzfrequenz

i)

Die Grenzfrequenz ${\omega _g}$ eines Verstärkers ist in üblicher Konvention jene Frequenz, bei der die Spannungs- bzw. Stromverstärkung (also der Amplitudengang) auf den $\frac{1}{{\sqrt 2 }}$ -fachen Wert der maximalen Verstärkung abgesunken ist (ca. 70,7 %). Dieser Abfall wird auch als 3dB-Abfall bezeichnet:

$G\left( {{\omega _g}} \right) = -3dB = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

${\left( {G\left( {{\omega _g}} \right)} \right)^2} = \frac{{\omega _g^2{\tau ^2}}}{{1+\omega _g^2{\tau ^2}}} = \frac{1}{2}$

$\Rightarrow \quad 2\omega _g^2{\tau ^2} = 1+\omega _g^2{\tau ^2}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\omega _g} = \frac{1}{\tau } = \frac{1}{{RC}}}}$

ii)

$G\left( \omega \right) = \frac{1}{{1+\frac{1}{{i\omega \tau }}}} = \underline{\underline {\frac{1}{{1+\frac{1}{{i\frac{\omega }{{{\omega _g}}}}}}}}}$

$\underline{\underline {\left| {G\left( \omega \right)} \right| = \frac{{\frac{\omega }{{{\omega _g}}}}}{{\sqrt {1+{{\left( {\frac{\omega }{{{\omega _g}}}} \right)}^2}} }}}}$

d) Phasengang

Für den Phasengang gilt:

$\boxed{\varphi \left( \omega \right) = \arctan \left( {\frac{{\operatorname{Im} \left\{ {G\left( i \omega \right)} \right\}}}{{\operatorname{Re} \left\{ {G\left( i \omega \right)} \right\}}}} \right)}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {\varphi \left( \omega \right) = \arctan \frac{1}{{\omega \tau }} = \arctan \left( {\frac{{{\omega _g}}}{\omega }} \right)}}$

Daraus folgt auch:

$\varphi \left( {\omega = 0} \right) = \arctan \left( \infty \right) = \frac{\pi }{2} = 90^\circ$

$\varphi \left( {\omega = {\omega _g}} \right) = \arctan \left( 1 \right) = \frac{\pi }{4} = 45^\circ$

$\varphi \left( {\omega \gg {\omega _g}} \right) = \arctan \left( 0 \right) = 0 = 0^\circ$

e) Zahlenbeispiel

i)

${\tau _1} = {R_1} \cdot {C_1}\quad \ldots \quad = 160ms$

${\tau _2} = {R_2} \cdot {C_2}\quad \ldots \quad = 32ms$

$\underline{\underline {{\omega _{g1}} = \frac{1}{{{\tau _1}}} = 6,25\:Hz}} \quad ;\quad \underline{\underline {{f_{g1}} = \frac{{{\omega _{g1}}}}{{2\pi }} = 1\:Hz}}$

$\underline{\underline {{\omega _{g2}} = \frac{1}{{{\tau _2}}} = 31,25\:Hz}} \quad ;\quad \underline{\underline {{f_{g2}} = \frac{{{\omega _{g2}}}}{{2\pi }} = 5\:Hz}}$

ii)

$\underline{\underline {{G_{1,2}}\left( {\omega = 0} \right) = 0}}$

iii)

${G_{1/2}}\left( {\omega = 10{\omega _g}} \right) = \frac{{10}}{{\sqrt {1+{{10}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {101} }} \approx \frac{{10}}{{10}} = 1$

${G_{1/2}}\left( {\omega = 100{\omega _g}} \right) = \frac{{100}}{{\sqrt {1+{{100}^2}} }} = \frac{{100}}{{\sqrt {10.001} }} \approx \frac{{100}}{{100}} = 1$

iv)

mess-u02-amplitudengang

v)

mess-u02-phasengang-log

mess-u02-phasengang-linear

$\mathcal{G}\mathcal{H}\& \mathcal{J}\mathcal{K}$