Gegeben sei der folgende Deformationsgradient:
-
Bestimmen Sie die nicht linearisierte Dehnung ε in Richtung von
.
-
Bestimmen Sie die linearisierte Dehnung εlin in Richtung von
.
-
Wie groß ist der absolute Fehler
für
Lösung
a) nicht linearisierte Dehnung
Die nicht linearisierte Dehnung berechnet sich aus:
,
wobei E der Greenesche Verzerrungstensor ist, für den gilt:
Der Deformationsgradient F ist in diesem Fall, wie auch im Allgemeinen, unsymmetrisch:
Wendet man den Deformationsgradienten F auf den Tangentenvektor der Referenzkonfiguration an, so erhält man den Tangentenvektor der Momentankonfiguration und damit eine Aussage über die Deformation:
Das bedeutet also:
Für die einzelnen Komponenten gilt somit:
Grafisch dargestellt sieht dies (mit der Verschiebung ) wie folgt aus:
Zunächst müssen wir nun den Verzerrungstensor berechnen:
Für die nicht linearisierte Dehnung folgt also:
Der negative Anteil wird hierbei vernachlässigt.
b) linearisierte Dehnung
Für die linearisierte Dehnung wird der linearisierte Verzerrungstensor benötigt. Bekannt ist:
Nun wird der Zusammenhang zwischen Deformationsgradient [F] und Verschiebungsgradient [H] benötigt:
Eingesetzt ergibt sich:
Die Linearisierung erfolgt nun durch Weglassen des quadratischen Anteils:
Daraus folgt nun:
Somit folgt für die Dehnung:
c) Absoluter Fehler