U 06.1 – Dickwandige Kugel unter Innendruck – Mathematical Engineering

htm-u06-kugelschnitt-1

Bei der skizzierten dickwandigen Kugel entstehen unter der Wirkung des Innendrucks p_i die Spannungen ${\sigma _{rr}}\left( r \right),\;{\sigma _{\phi \phi }}\left( r \right)$ und ${\sigma _{\lambda \lambda }}\left( r \right)$ . Für die Kugel gelte elastoplastisches Materialverhalten. Wie groß darf der Innendruck werden,

wenn das Material an der Innenwand gerade zu fließen beginnt,
wenn bis zum Radius r_m Fließen auftritt und
wenn bis zum Radius r_a Fließen auftritt.

Skizzieren Sie die Spannungsverteilungen.

Gegeben: ${r_a},\quad \frac{{{r_i}}}{{{r_a}}} = 0.8,\quad \frac{{{r_m}}}{{{r_a}}} = 0.9,\quad {\sigma _F}$

Lösung

Vorbetrachtungen und Herleitungen

Kurze Einführung zum Fließen:

Wir schauen uns zunächst die Fließbedingung von Mises an, welche wir für die Aufgabe benötigen:

$\frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2}-\sigma _F^2 = 0$

${T^D}$ ist dabei der so genannte Spannungsdeviator. Man bekommt ihn durch Subtraktion des Kugelanteils vom Spannungstensor:

$T = {T^D}+{T^V}\quad \Leftrightarrow \quad {T^D} = T-{T^V}$

D: deviatorisch

V: volumetrisch

Der Kugelanteil vom Spannungstensor lautet:

${T^V} = K = {\sigma _M}{\vec e_i} \otimes {\vec e_i} = {\sigma _M}I = \frac{1}{3}Sp\left( T \right)I$

$\Rightarrow \quad T = {T^D}+{T^V} = {T^D}+\frac{1}{3}Sp\left( T \right)I\quad \Leftrightarrow \quad {T^D} = T-\frac{1}{3}Sp\left( T \right)I$

Der Deviator ist also der Tensor ohne den Spuranteil.

Die Norm eines Tensors A lautet:

$\left\| A \right\| = \sqrt {A \cdot A} = \sqrt {\left( {{A_{kl}}{{\vec e}_k} \otimes {{\vec e}_l}} \right) \cdot \left( {{A_{ij}}{{\vec e}_i} \otimes {{\vec e}_j}} \right)} = \sqrt {{A_{kl}}{A_{ij}}{\delta _{ki}}{\delta _{lj}}} = \sqrt {{A_{kl}}{A_{kl}}} = \sqrt {\operatorname{Sp} \left( {{A^T}A} \right)}$

Nun kommen wir zum eigentlichen Teil der Aufgabe.

Zur Lösung der Aufgabe müssen die Komponenten für die Fließbedingung berechnet werden:

$\frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2}-\sigma _F^2 = 0\quad \Leftrightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2}$

Da die Kugel durch den Innendruck ausschließlich radial belastet wird, können die Schubspannungterme im Spannungstensor zu Null gesetzt werden:

${\sigma _{r\phi }} = {\sigma _{r\lambda }} = {\sigma _{\phi r}} = {\sigma _{\phi \lambda }} = {\sigma _{\lambda r}} = {\sigma _{\lambda \phi }} = 0$

$\Rightarrow \quad T = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{rr}}}&0&0 \\ 0&{{\sigma _{\phi \phi }}}&0 \\ 0&0&{{\sigma _{\lambda \lambda }}} \end{array}} \right]$

$\Rightarrow \quad Sp\left( T \right) = {\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}$

${T^D} = T-\frac{1}{3}Sp\left( T \right)I$

$\Rightarrow \quad {T^D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{rr}}}&0&0 \\ 0&{{\sigma _{\phi \phi }}}&0 \\ 0&0&{{\sigma _{\lambda \lambda }}} \end{array}} \right]-\frac{1}{3}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}}&0&0 \\ 0&{{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}}&0 \\ 0&0&{{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}} \end{array}} \right]$

Nun gilt:

$\sigma _F^2 = \frac{3}{2} \cdot {\left\| {{{\underline{\underline T} }^D}} \right\|^2} = \frac{3}{2}Sp\left( {{{\left( {{T^D}} \right)}^T}{T^D}} \right)$

${\left( {{T^D}} \right)^T}{T^D} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{{\left( {{\sigma _{rr}}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)}^2}}&0&0 \\ 0&{{{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)}^2}}&0 \\ 0&0&{{{\left( {{\sigma _{\lambda \lambda }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)}^2}} \end{array}} \right]$

mit: $\Sigma = Sp\left( T \right) = {\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}$

$Sp\left( {{{\left( {{T^D}} \right)}^T}{T^D}} \right) = {\left( {{\sigma _{rr}}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)^2}+{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)^2}+{\left( {{\sigma _{\lambda \lambda }}-\frac{1}{3}\left( \Sigma \right)} \right)^2}$

$= \sigma _{rr}^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right){\sigma _{rr}}+\frac{1}{9}{\left( \Sigma \right)^2}+\sigma _{\phi \phi }^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right){\sigma _{\phi \phi }}+\frac{1}{9}{\left( \Sigma \right)^2}+\sigma _{\lambda \lambda }^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right){\sigma _{\lambda \lambda }}+\frac{1}{9}{\left( \Sigma \right)^2}$

$= \sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2-\frac{2}{3}\left( \Sigma \right)\underbrace {\left( {{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)}_{ = \left( \Sigma \right)}+\frac{1}{3}{\left( \Sigma \right)^2}$

$= \sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2-\frac{1}{3}{\left( \Sigma \right)^2}$

$\sigma _F^2 = \frac{3}{2}Sp\left( {{{\left( {{T^D}} \right)}^T}{T^D}} \right)$

$\Rightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{3}{2}\left( {\sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2} \right)+$

$\qquad -\frac{1}{2}\left( {{\sigma _{rr}}{\sigma _{rr}}+{\sigma _{rr}}{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{rr}}{\sigma _{\lambda \lambda }}+{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{\lambda \lambda }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}{\sigma _{rr}}+{\sigma _{\lambda \lambda }}{\sigma _{\phi \phi }}+{\sigma _{\lambda \lambda }}{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)$

$\Rightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{1}{2}\left[ {2\left( {\sigma _{rr}^2+\sigma _{\phi \phi }^2+\sigma _{\lambda \lambda }^2} \right)-\left( {2{\sigma _{rr}}{\sigma _{\phi \phi }}+2{\sigma _{rr}}{\sigma _{\lambda \lambda }}+2{\sigma _{\phi \phi }}{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)} \right]$

$\Rightarrow \quad \sigma _F^2 = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right)}^2}+{{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right)}^2}+{{\left( {{\sigma _{\lambda \lambda }}-{\sigma _{rr}}} \right)}^2}} \right]$

Als nächstes wird die Impulsbilanz benötigt:

$\operatorname{div} T+\rho \vec k = \rho \ddot \vec u$

Da sich die Kugel in Ruhe befindet und keine Massenkräfte angreifen, gilt:

$\vec k = 0,\quad \ddot \vec u = 0\quad \Rightarrow \quad \operatorname{div} T = 0$

Wie in Übung 5.2 bereits hergeleitet wurde, gilt für die Divergenz in Kugelkoordinaten:

$\operatorname{div} T = \left( {\frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}}+\frac{2}{r}{\sigma _{rr}}-\frac{1}{r}{\sigma _{\phi \phi }}-\frac{1}{r}{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right){\vec e_r}+\frac{{\cos \phi }}{{r\sin \phi }}\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right){\vec e_\phi }$

Wenn die Divergenz Null sein soll, so muss dies auch jede ihrer Komponenten sein:

$\operatorname{div} T = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{\cos \phi }}{{r\sin \phi }}\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{\lambda \lambda }}} \right) = 0\quad \Rightarrow \quad {\sigma _{\phi \phi }} = {\sigma _{\lambda \lambda }}$

Aus der Impulsbilanz erfolgt also, dass ${\sigma _{\phi \phi }} = {\sigma _{\lambda \lambda }}$ ist.

Eingesetzt folgt für die Divergenz und die Fließspannung:

$\operatorname{div} T = \frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}}+\frac{2}{r}\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right) = 0$

$\sigma _F^2 = \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right)}^2}+{{\left( {{\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{rr}}} \right)}^2}} \right] = \sigma _{rr}^2-2{\sigma _{rr}}{\sigma _{\phi \phi }}+\sigma _{\phi \phi }^2 = {\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right)^2}$

$\Rightarrow \quad {\sigma _F} = {\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}\quad \cup \quad {\sigma _{\phi \phi }}-{\sigma _{rr}}$

Aus diesen beiden Gleichungen folgt:

$\operatorname{div} T = \frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}}+\frac{2}{r}\left( {{\sigma _{rr}}-{\sigma _{\phi \phi }}} \right) = 0$

$\Rightarrow \quad \frac{{\partial {\sigma _{rr}}}}{{\partial r}} = \frac{2}{r}{\sigma _F}$

Durch Integration ergibt sich nun:

${\sigma _{rr}} = 2{\sigma _F}\ln r+C$

Zur Bestimmung von C kommt jetzt noch die Randbedingung hinzu:

${\sigma _{rr}}\left( {{r_i}} \right) = -{p_i}$

$\Rightarrow \quad C = -{p_i}-2{\sigma _F}\ln {r_i}$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-{p_i}}}$

Für den Elastischen Bereich gilt (wie bereits aus Aufgabe 5.2 bekannt):

${\sigma _{rr}} = \frac{E}{{\left( {1-2\nu } \right)}}{C_1}-\frac{{2E}}{{\left( {1+\nu } \right)}}{C_2}{r^{-3}}$

${\sigma _{\lambda \lambda }} = {\sigma _{\phi \phi }} = \frac{E}{{1-2\nu }}{C_1}+\frac{E}{{1+\nu }}{C_2}{r^{-3}}$

Die Konstanten werden nun wieder aus den Randbedingungen ermittelt.

htm-u06-kugelschnitt-2

Am Innenrand des elastischen Bereichs, also bei $r = {r_g}$ gilt die Fließbedingung. Daher folgt für die Fließspannung:

${\sigma _F} = {\sigma _{\phi \phi }}\left( {{r_g}} \right)-{\sigma _{rr}}\left( {{r_g}} \right) = 3\frac{E}{{1+n}}{C_2} \cdot r_g^{-3}\quad \Rightarrow \quad {C_2} = {\sigma _F} \cdot r_g^3\frac{{1+\nu }}{{3E}}$

Die Randbedingung lautet:

${\sigma _{rr}}\left( {{r_a}} \right) = -{p_a} = 0$

$\Rightarrow \quad \frac{E}{{1-2\nu }}{C_1}-\frac{{2E}}{{1+\nu }}{C_2}r_a^{-3} = 0$

$\Rightarrow \quad {C_1} = \frac{{2\left( {1-2\nu } \right)}}{{1+\nu }}{C_2}r_a^{-3} = \frac{3}{2}\frac{{1-2\nu }}{E}{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)^3}{\sigma _F}$

Daraus folgt die Spannungsverteilung im elastischen Bereich:

${\sigma _{rr}} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{r}} \right)}^3}} \right]$

${\sigma _{\phi \phi }} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+\frac{1}{2}{{\left( {\frac{{{r_g}}}{r}} \right)}^3}} \right]$

${\sigma _{\lambda \lambda }} = {\sigma _{\phi \phi }}$

Nun darf die Spannung ${\sigma _{rr}}\left( r \right)$ beim Übergang vom plastischen in den elastischen Bereich keinen Sprung aufweisen:

htm-u06-spannung-beim-uebergang

Daher muss gelten:

${\sigma _{rr,ELAS}}\left( {{r_g}} \right) = {\sigma _{rr,PLAS}}\left( {{r_g}} \right)$

Folgende Formeln haben wir bereits für die Spannung hergeleitet:

${\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-{p_i}$ (plastisch)

${\sigma _{rr}} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_g}}}} \right)}^3}} \right]$ (elastisch)

Es muss also bei $r = {r_g}$ gelten:

$2{\sigma _F}\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_g}}}} \right)}^3}} \right]\quad$

$\Rightarrow \quad \underline{\underline {{p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]}}$

Mit diesem Zusammenhang zwischen p_i und σ_F kann die Spannungsverteilung im plastischen Bereich angegeben werden:

${\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-{p_i}$

$\Rightarrow\quad {\sigma _{rr}}\left( r \right) = 2{\sigma _F}\ln \frac{r}{{{r_i}}}-\frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]$

$\Rightarrow\quad {\sigma _{rr}}\left( r \right) = -\frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{r}{{{r_i}}}-3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]$

${\sigma _{rr}} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{r}{{{r_g}}}+{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}-1} \right]$

${\sigma _{\phi \phi }} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{r}{{{r_g}}}+{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+\frac{1}{2}} \right]$

${\sigma _{\lambda \lambda }} = {\sigma _{\phi \phi }}$

Die Berechnung des nötigen Innendrucks für die Teilaufgaben a) bis c) ist nun also mit folgender Formel möglich:

$\boxed{{p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_g}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_g}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]}$

a) Das Material beginnt an der Innenwand zu fließen

${r_g} = {r_i}$

$\Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_i}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_i}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right] = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {1-{{\left( {\frac{{{r_i}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}} \right] = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {1-{{0,8}^3}} \right]$

$\Rightarrow \quad {p_i} = \underline{\underline {0,325{\sigma _F}}}$

htm-u06-spannungsverteilung-1

b) Das Material fließt bis zum Radius r_m

${r_g} = {r_m}$

$\Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_m}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_m}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right]$

$\Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{0,9}}{{0,8}}-{{\left( {0.9} \right)}^3}+1} \right] = \underline{\underline {0,416{\sigma _F}}}$

$\frac{{{r_i}}}{{{r_a}}} = 0,8\quad ,\quad \frac{{{r_m}}}{{{r_a}}} = 0,9\quad \Rightarrow \quad \frac{{{r_m}}}{{{r_i}}} = \frac{{{r_m}}}{{{r_a}}}\frac{{{r_a}}}{{{r_i}}} = \frac{{0,9}}{{0,8}}$

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c) Das Material fließt bis zum Radius r_a

${r_g} = {r_a}\quad \Rightarrow \quad {p_i} = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{{{r_a}}}{{{r_i}}}-{{\left( {\frac{{{r_a}}}{{{r_a}}}} \right)}^3}+1} \right] = \frac{2}{3}{\sigma _F}\left[ {3\ln \frac{1}{{0,8}}} \right] = \underline{\underline {0,446{\sigma _F}}}$

htm-u06-spannungsverteilung-3

$\mathcal{J}\mathcal{K}$