Bei der skizzierten dickwandigen Kugel entstehen unter der Wirkung des Innendrucks pi die Spannungen und
. Für die Kugel gelte elastoplastisches Materialverhalten. Wie groß darf der Innendruck werden,
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wenn das Material an der Innenwand gerade zu fließen beginnt,
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wenn bis zum Radius rm Fließen auftritt und
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wenn bis zum Radius ra Fließen auftritt.
Skizzieren Sie die Spannungsverteilungen.
Gegeben:
Lösung
Vorbetrachtungen und Herleitungen
Kurze Einführung zum Fließen:
Wir schauen uns zunächst die Fließbedingung von Mises an, welche wir für die Aufgabe benötigen:
ist dabei der so genannte Spannungsdeviator. Man bekommt ihn durch Subtraktion des Kugelanteils vom Spannungstensor:
D: deviatorisch
V: volumetrisch
Der Kugelanteil vom Spannungstensor lautet:
Der Deviator ist also der Tensor ohne den Spuranteil.
Die Norm eines Tensors A lautet:
Nun kommen wir zum eigentlichen Teil der Aufgabe.
Zur Lösung der Aufgabe müssen die Komponenten für die Fließbedingung berechnet werden:
Da die Kugel durch den Innendruck ausschließlich radial belastet wird, können die Schubspannungterme im Spannungstensor zu Null gesetzt werden:
Nun gilt:
mit:
Als nächstes wird die Impulsbilanz benötigt:
Da sich die Kugel in Ruhe befindet und keine Massenkräfte angreifen, gilt:
Wie in Übung 5.2 bereits hergeleitet wurde, gilt für die Divergenz in Kugelkoordinaten:
Wenn die Divergenz Null sein soll, so muss dies auch jede ihrer Komponenten sein:
Aus der Impulsbilanz erfolgt also, dass ist.
Eingesetzt folgt für die Divergenz und die Fließspannung:
Aus diesen beiden Gleichungen folgt:
Durch Integration ergibt sich nun:
Zur Bestimmung von C kommt jetzt noch die Randbedingung hinzu:
Für den Elastischen Bereich gilt (wie bereits aus Aufgabe 5.2 bekannt):
Die Konstanten werden nun wieder aus den Randbedingungen ermittelt.
Am Innenrand des elastischen Bereichs, also bei gilt die Fließbedingung. Daher folgt für die Fließspannung:
Die Randbedingung lautet:
Daraus folgt die Spannungsverteilung im elastischen Bereich:
Nun darf die Spannung beim Übergang vom plastischen in den elastischen Bereich keinen Sprung aufweisen:
Daher muss gelten:
Folgende Formeln haben wir bereits für die Spannung hergeleitet:
(plastisch)
(elastisch)
Es muss also bei gelten:
Mit diesem Zusammenhang zwischen pi und σF kann die Spannungsverteilung im plastischen Bereich angegeben werden:
Die Berechnung des nötigen Innendrucks für die Teilaufgaben a) bis c) ist nun also mit folgender Formel möglich:
a) Das Material beginnt an der Innenwand zu fließen
b) Das Material fließt bis zum Radius rm
c) Das Material fließt bis zum Radius ra
MS
6 Jan 2019Sehr toller Artikel!
Ist es möglich die bei der Impulsbilanz oben genannte Übung 5.2 zur Herleitung der Divergenz in Kugelkoordinaaten einzusehen? Das wäre super!
Beste Grüße
MS