Es sei
.
Auf der Menge sind definiert
und
.
Finden Sie die Extremalen von , welche die Nebenbedingung
erfüllen.
Lösung
Wir bilden, wie bei Aufgaben dieses Typs üblich, zuerst die erweiterte Lagrange-Funktion:
Zu beachten ist allerdings, dass hier keine Konstante mehr ist sonder eine Funktion der Zeit:
Dies liegt daran, dass die Nebenbedingung nicht von der gleichen Struktur ist wie die zu minimierende Funktion.
Die Euler-Gleichung liefert:
Nebenbedingung:
Wir formen die Gleichungen (1) und (2) um und setzen in (3) ein:
Zu Lösung dieser Gleichung verwenden wir den Exponentialansatz:
Charakteristische Gleichung und Lösung: