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U 07.2 – Nebenbedingungen von anderer Struktur als die Funktion

Es sei

D: = \left\{ {\vec x:\left[ {a,b} \right] \to {\mathbb{R}^2}:\vec x = \left( {{x_1},{x_2}} \right) \in {C^2}\left[ {a,b} \right]} \right\}.

Auf der Menge D sind definiert

J\left( {\vec x} \right) = \int\limits_a^b {\left\| {\vec x\left( t \right)} \right\|_2^2dt}

und

G\left( {t,\vec x,\dot {\vec x}} \right) = {\dot x_1}+{x_1}+{x_2}.

Finden Sie die Extremalen von J, welche die Nebenbedingung G\left( {t,\vec x,\dot {\vec x}} \right) = 0 erfüllen.

Lösung

Wir bilden, wie bei Aufgaben dieses Typs üblich, zuerst die erweiterte Lagrange-Funktion:

F\left( {t,\vec x,\dot {\vec x}} \right) = {\left\| {\vec x} \right\|^2}+\lambda \left( {{{\dot x}_1}+{x_1}+{x_2}} \right) = x_1^2+x_2^2+\lambda \left( {{{\dot x}_1}+{x_1}+{x_2}} \right)

{F_{{{\dot x}_1}}} = \lambda ,\quad {F_{{x_1}}} = 2{x_1}+\lambda ,\quad {F_{{{\dot x}_2}}} = 0,\quad {F_{{x_2}}} = 2{x_2}+\lambda

Zu beachten ist allerdings, dass \lambda hier keine Konstante mehr ist sonder eine Funktion der Zeit:

\lambda = \lambda \left( t \right)

Dies liegt daran, dass die Nebenbedingung nicht von der gleichen Struktur ist wie die zu minimierende Funktion.

Die Euler-Gleichung liefert:

\frac{d}{{dt}}{F_{{{\dot x}_1}}} = {F_{{x_1}}}\quad \Rightarrow \quad \dot \lambda = 2{x_1}+\lambda \quad \quad \quad \quad \left( 1 \right)

\frac{d}{{dt}}{F_{{{\dot x}_2}}} = {F_{{x_2}}}\quad \Rightarrow \quad 0 = 2{x_2}+\lambda \quad \quad \quad \quad \left( 2 \right)

Nebenbedingung:

G\left( {t,\vec x,\dot {\vec x}} \right) = {\dot x_1}+{x_1}+{x_2} = 0\quad \quad \quad \quad \left( 3 \right)

Wir formen die Gleichungen (1) und (2) um und setzen in (3) ein:

{x_1} = \frac{1}{2}\left( {\dot \lambda -\lambda } \right),\quad {x_2} = -\frac{\lambda }{2}

\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\left( {\ddot \lambda -\dot \lambda } \right)+\frac{1}{2}\left( {\dot \lambda -\lambda } \right)-\frac{\lambda }{2} = 0

\quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\ddot \lambda -\lambda = 0

\quad \Rightarrow \quad \ddot \lambda -2\lambda = 0

Zu Lösung dieser Gleichung verwenden wir den Exponentialansatz:

\lambda \left( t \right) = c \cdot {e^{-\chi t}}

Charakteristische Gleichung und Lösung:

{\chi ^2}-2 = 0\quad \Rightarrow \quad {\chi _{1,2}} = \pm \sqrt 2

\quad \Rightarrow \quad \lambda = \lambda \left( t \right) = {c_1}{e^{\sqrt 2 t}}+{c_2}{e^{-\sqrt 2 t}},\quad \quad \quad {c_{1,2}} \in \mathbb{R}

\quad \Rightarrow \quad \dot \lambda = {c_1}\sqrt 2 {e^{\sqrt 2 t}}-\sqrt 2 {e^{-\sqrt 2 t}}

\quad \Rightarrow \quad {x_1} = {x_1}\left( t \right) = \frac{1}{2}\left( {{c_1}\left( {\sqrt 2 -1} \right){e^{\sqrt 2 t}}-{c_2}\left( {\sqrt 2 +1} \right){e^{-\sqrt 2 t}}} \right)

\quad \Rightarrow \quad {x_2} = -\frac{{{c_1}}}{2}{e^{\sqrt 2 t}}-\frac{{{c_2}}}{2}{e^{-\sqrt 2 t}}

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