Die stationäre Wärmeleitungsgleichung lautet
.
Hierin beschreibt den Wärmefluss über den Körperrand und
eine innere Wärmequelle. Die Primärvariable ist die Temperatur
, die mit dem Wärmeflussvektor über das isotrope Fourier’sche Wärmeleitgesetz
in Verbindung steht. Der Materialparameter ist die Wärmeleitfähigkeit.
- Formulieren Sie die Differentialgleichung und die Randbedingungen für den eindimensionalen Fall des Wärmeleitstabes. Welche Randbedingungen werden im Kontext der FEM unterschieden, welche Restriktionen in Bezug auf die Randbedingungen müssen erfüllt sein? Warum sind keine Anfangsbedingungen zu formulieren?
- Leiten Sie die schwache Form der Differentialgleichung her. Welchen Bedingungen muss dabei die Testfunktion genügen? Bemerkung: Für die kinematische Beziehung kann
benutzt werden.
- Approximieren Sie die unbekannten Größen in der schwachen Form für ein repräsentatives Element
mit linearen Ansätzen. Welche Bedingungen müssen Ansatzfunktionen allgemein erfüllen? Was verstehen Sie unter dem isoparametrischen Konzept?
- Schreiben Sie die approximierte, schwache Form nieder. Berechnen Sie analog zur Impulsbilanz die in der approximierten, schwachen Form der Wärmeleitungsgleichung auftretende Konduktivitätsmatrix (Steifigkeitsmatrix).
Lösung 3
a) Differentialgleichung und Randbedingungen
Differentialgleichung für den eindimensionalen Fall:
Als Randbedingungen werden im Kontext der FEM die Dirichlet- und die Neumann-Randbedingung unterschieden. Für den eindimensionalen Fall des Wärmeleitstabes sind diese im Folgenden dargestellt.
Randbedingung 1. Art (Dirichlet)
Randbedingung 2. Art (Neumann):
Es darf allerdings nur entweder eine RB 1. oder 2. Art gegeben sein.
Anfangsbedingungen werden nicht benötigt, da das Problem stationär ist.
b) Herleitung der schwachen Form
Für die Herleitung der schwachen Formulierung benötigen wir:
Als Testfunktion verwenden wir:
Diese muss folgende Bedingungen erfüllen:
- Sie muss die Dirichlet-Randbedingungen genügen
- Sie muss den Feldgleichungen genügen, d.h.
- Sie ist infinitesimal klein und ansonsten beliebig
Zur Herleitung der schwachen Formulierung benutzen wir die Variante mit der 1. Green’schen Identität:
Mit der Green’schen Formel
folgt:
Im Eindimensionalen gilt:
Einsetzen:
c) Approximation
Wir wollen nun die unbekannten Größen der schwachen Form approximieren.
Allgemeine Bedingungen für die Ansatzfunktionen:
Die Ansatzfunktionen …
- müssen konform sein (Interaktion und Kompatibilität benachbarter finiter Elemente)
- müssen mindestens konstante Temperaturableitungen liefern
- …
Approximationen:
Für eine genaue Definition von siehe Skript und die vorherigen Übungsaufgaben.
Unter isoparametrischem Konzept (isoparametrischer Darstellung) verstehen wir, dass für verschiedene Approximationen die gleichen Formfunktionen verwendet werden.
d) Approximierte schwache Form und Konduktivitätsmatrix
Approximierte schwache Form:
Die Konduktivitätsmatrix bekommen wir wie folgt:
Für die Konduktivitätsmatrix folgt somit analog zu Übung 2 :